【先生】 速さと比 (2) は、旅人算と比を合体させる単元。 一番おいしい技は **「2 人が出会ったあと、それぞれが相手の出発点まで進む時間は 速さの逆比」** これを知ってると、面倒な計算なしで答えが出る。 【先生】 イメージで説明するね。 A 町から A 君、B 町から B 君が向かい合って歩く。途中で出会った点を P とする。 出会ってから ・A 君は P→B 町 (= B 君が出発時に立ってた距離) を歩く ・B 君は P→A 町 (= A 君が出発時に立ってた距離) を歩く 残りの「道のり」が、速さの比に なってる (時間が同じだったから)。 【先生】 そして残り時間は「道のり ÷ 自分の速さ」。 → A の残り時間 ∝ B の道のり ÷ A の速さ → B の残り時間 ∝ A の道のり ÷ B の速さ 整理すると **A の残り時間 : B の残り時間 = (B の速さ) : (A の速さ) の逆比?** …… ううん、これだと混乱するよね。覚え方を 1 つに絞ろう。 【先生】 覚え方はシンプルにこれ。 **「出会い後の所要時間は 速さの逆比」** 速い人ほど、残りを早く片付ける。 例: A:B = 3:2 (A の方が速い) → 出会い後の時間 A:B = **2:3** (A は短い時間で着く)。 【? 理解確認】 A と B が向かい合って出会った後、A は 8 分で B 町に、B は 18 分で A 町に着いた。A:B の速さの比は? A:B = 8:18 = 4:9 ✓ A:B = 18:8 = 9:4 A:B = 3:2 【正解】 正解! 出会い後の時間が 8:18 だから、速さは その逆比で 18:8 = 9:4。A の方が速い。 【先生】 実際に「速さと比 (2) っぽい」問題を 1 つ解こう。 A 町から A 君、B 町から B 君が同時に出発、向かい合って歩く。 出会ってから A は 16 分で B 町に、B は 25 分で A 町に着いた。 A と B が出会ったのは出発から何分後? 【先生】 ステップ 1: 出会い後の時間 16:25 → 速さ比 A:B = **25:16** (逆比)。 ステップ 2: 出会いまでにかかった時間は同じだから、進んだ道のり比 = 速さ比 = 25:16。 ステップ 3: A は出会いから B 町まで「B の進んだ部分」(=16) を歩いて 16 分かかる。 → A の速さは「16 の道のりを 16 分」だから 1 (m/分 などの単位省略)。 ステップ 4: A が「25 の道のり」を歩く時間 = 25÷1 = **25 分**。 答え: 出会いは出発から **20 分後**。 (検算: 25 分で 25、20 分で 20…の感じ。実は出会い時間 = √(16×25)=20。これ便利な裏ワザだよ。) 【? 理解確認】 向かい合って出発、出会った後 A は 4 分、B は 9 分で相手の町に着いた。出会いまでにかかった時間は何分? ✓ 6 分 6.5 分 13 分 【正解】 正解! 出会いまでの時間 = √(4×9) = √36 = 6 分。これは公式として覚えてOK。 【先生】 もう 1 つよく出る ネタ: 父と子の歩幅・歩数。 「父は子の歩幅の 5/4 倍、子は父の歩数の 6/5 倍 (同じ時間で)」みたいなやつ。 速さ = **歩幅 × 歩数** だから、比を 2 つかけ算して 速さの比 を出す。 父:子 = (5/4)×(5/6) = 25:24。 父の方がほんの少し速い → 追いつくまでに時間がかかる、と読める。 速さと比 (2) の鉄則: ・出会いの **後の時間** = 速さの **逆比** ・出会いまでの時間 = **√(A の残り時間 × B の残り時間)** (頻出) ・歩幅 × 歩数 = 速さ。比を 2 段重ねでかけ算 ・池まわり同地点出発は 和差算 (反対向き=和 / 同じ向き=差)