【先生】 今日は旅人算。 難しそうに見えるけど、ぜんぶ「2 人がどれくらい速く 近づく / 離れるか」の話。 覚えるのは たった 2 つ。 ・**反対向き (出会う) → 速さの 和** ・**同じ向き (追いつく) → 速さの 差** これだけ押さえれば 9 割の問題は解ける。 【先生】 なんで そうなるか? 向かい合って歩くと、1 秒ごとに「自分が進む分 + 相手が進む分」だけ距離が縮まる。 → 1 秒で (A の速さ + B の速さ) ずつ近づく。だから **和**。 同じ向きに歩くと、後ろの人は「自分が進む分 − 前の人が進む分」しか縮められない。 → 1 秒で (速い人 − 遅い人) ずつしか近づけない。だから **差**。 【? 理解確認】 A と B が 1200m はなれた地点から向かい合って歩く。A は分速 80m、B は分速 70m。何分で出会う? ✓ 8 分後 16 分後 120 分後 【正解】 正解! 向かい合うから 速さの和 = 80+70 = 150m/分。1200÷150 = 8 分。 【先生】 もう 1 つの主役パターン、追いつき算。 妹が先に分速 60m で歩き出して 5 分後、姉が分速 90m で追いかける。 まず「姉が出発したとき、妹はどこにいるか」を考えるのがコツ。 妹は 60×5=300m 先。これが「はじめの距離」。 あとは差の速さ 90−60=30m/分 で 300÷30=10 分で追いつく。 【? 理解確認】 妹が分速 60m で先に出発し、12 分後に姉が分速 100m で追いかけた。姉が妹に追いつくのは姉が出発してから何分後? ✓ 18 分後 9 分後 12 分後 【正解】 正解! 姉が出るとき妹は 60×12=720m 先。差の速さ 100−60=40m/分 で 720÷40=18 分。 【先生】 次は 池まわり。同じ地点から出発するパターン。 ここで多くの子が間違える。 ・**同じ向き** に走る → 速い人が遅い人を 1 周分追いこす = **差** で 1 周ぶん ・**反対向き** に走る → 1 周ぶんを 2 人で分け合って出会う = **和** で 1 周ぶん 「同じ向き = 和」と思い込んでる子、すごく多いから注意。 【先生】 池まわりは「和差算」とセットでよく出る。 例: 1 周 1800m の池。反対向きなら 6 分で出会い、同じ向きなら 30 分で追いつく。 ・和 = 1800÷6 = 300m/分 ・差 = 1800÷30 = 60m/分 → 速い方 = (300+60)÷2 = 180、遅い方 = (300−60)÷2 = 120。 和差算で 2 人の速さが一気に出る。 【? 理解確認】 1 周 1200m の池。A と B が同じ地点から反対向きに走ると 4 分で出会う。2 人の速さの和は? ✓ 分速 300m 分速 4800m 分速 150m 【正解】 正解! 1 周 1200m を 4 分で「和」が削るから 1200÷4 = 300m/分。 旅人算の鉄則: ・向かい合い (出会い) → **速さの 和** で割る ・同じ向き (追いつき) → **速さの 差** で割る ・後発のときは「先発者が進んだ距離」を はじめの距離 に組み込む ・池まわりは「同じ向き = 差で 1 周」「反対向き = 和で 1 周」