【先生】 今日は整数とサイコロの場合の数。 ここで一番引っかかるのは、**「0」の扱い** と **「重複」の引き忘れ**。 とくに整数を作る問題で **「0 で始まる数は数えない」** はテストで超頻出のワナ。 【先生】 例題: 0, 1, 2, 3, 4 の 5 枚のカードから **3 枚** 選んで 3 けたの整数を作る。 ・百の位:**0 以外** で 4 通り (1, 2, 3, 4) ・十の位:残り 4 枚 (0 含む) から 1 枚で 4 通り ・一の位:残り 3 枚から 1 枚で 3 通り 合計 = 4 × 4 × 3 = **48 通り** **百の位だけ「0 を除いて」考える** が決まり手。 【? 理解確認】 0, 1, 2, 3 の 4 枚から 3 枚使って **3 けたの偶数** は何通り? 6 通り ✓ 10 通り 18 通り 【正解】 正解! 偶数 = 一の位が偶数 (0 か 2)。 ・一の位 0 のとき:百 = 1, 2, 3 から 1 つ、十 = 残り 2 から 1 つ → 3×2 = 6 通り ・一の位 2 のとき:百 = 1, 3 (0 はダメ) から 1 つ、十 = 残り 2 (0 含む) から 1 つ → 2×2 = 4 通り 合計 6 + 4 = **10 通り**。 【先生】 **倍数の判定** も覚えておこう。 ・**偶数** = 一の位が 偶数 (0, 2, 4, 6, 8) ・**5 の倍数** = 一の位が 0 か 5 ・**3 の倍数** = **各位の和が 3 の倍数** ・**4 の倍数** = 下 2 桁が 4 の倍数 3 の倍数では「**和が 3 の倍数になる数字の組**」を先に出して、各組ごとに並べ方を掛けて足す、の 2 段構え。 【先生】 次は **サイコロ**。 サイコロ 2 個の問題は、(大, 小) の **6×6 = 36 マスの表** をイメージしよう。 和や差の条件に合うマスを数えるだけ。 例: 和が 7 → (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) で **6 通り** 「**(大, 小) と (小, 大) は別のマス**」を忘れずに。 【? 理解確認】 サイコロを 2 個振ったとき、目の **差が 2** になるのは何通り? 4 通り 6 通り ✓ 8 通り 【正解】 正解! (大,小) で書き出すと: (3,1)(1,3)(4,2)(2,4)(5,3)(3,5)(6,4)(4,6) で **8 通り**。 「大が大きい」「小が大きい」両方を数える。 【先生】 **硬貨で支払える金額** の問題も超頻出。 例: 100 円 1 枚、50 円 1 枚、10 円 3 枚で支払える金額は何種類? ・各硬貨を使う枚数の組合せをすべて書き出す ・**「0 円」(何も使わない) を引く** ・**同じ金額が出てきたら 1 つにまとめる** (重複を引く) 「同じ金額の重複」と「0 円」、この 2 つの引き忘れがミス No.1。 【先生】 整数問題のもうひとつのコツ。 **「条件を満たす数字の組を先に決める → 並べ方を後で計算」** の 2 段構え。 例: 1〜9 から 3 枚選んで 3 けたの 3 の倍数。 → まず「和が 3 の倍数になる 3 数の組」を全列挙 → 各組について 3 けたの並べ方 (3×2×1=6 通り) を掛ける → 0 を含む組のときだけ並べ方が 4 通り (百の位 0 ダメ)。 **「組」と「並び」を分ける** のが整数問題の鉄則。 いろいろな場合の数 (2) のおさえどころ: ・**整数:百の位に 0 はダメ** ・**倍数判定**:5 → 一の位、3 → 各位の和、4 → 下 2 桁 ・サイコロは **(大, 小) の 36 マス表** で数える ・硬貨は **「0 円」と「重複」** を引く ・整数は **組 → 並びの 2 段構え**