【先生】 今日のテーマは「同じものを含むときの並べ方」。 白い石 3 個と黒い石 2 個、合計 5 個を 1 列に並べる方法は? 「全部違うと考えて並べてから、同じものの重複で割る」が王道だよ。 【先生】 手順を見せるね。 (1) 全部違うとして並べる → 5×4×3×2×1 = 120 通り (2) でも白 3 個は (白1, 白2, 白3) どう並べても同じ → 3×2×1 = 6 通りずつ重複 (3) 黒 2 個も同じ → 2×1 = 2 通りずつ重複 (4) だから 120 ÷ (6 × 2) = **10 通り** **「全並べ ÷ (同じものの並べ方の積)」** が公式。 【先生】 もっと速い見方も覚えよう。 5 個の場所のうち、**白を置く 3 か所を選ぶ** だけで全部決まる (残りは黒で確定)。 5 か所から 3 か所選ぶ = (5×4×3) ÷ (3×2×1) = 10 通り。 **「同じものを含む並べ方 = 場所を選ぶ組み合わせ」** と読み替えられる。 これが分かると、白黒並べは「組み合わせの問題」になる。 【? 理解確認】 ○ が 4 個と × が 2 個、合計 6 個を 1 列に並べる方法は何通り? 12 通り ✓ 15 通り 30 通り 【正解】 正解! 6 か所から × の 2 か所を選ぶ = (6×5)÷(2×1) = 15 通り。 または全並べ 720 ÷ (4×3×2×1) ÷ (2×1) = 720÷24÷2 = 15。 【先生】 応用編。**3 種類** の文字「A, A, A, B, B, C」を並べる方法は? (1) 全部違うとして 6 個並べる = 6×5×4×3×2×1 = 720 (2) A 3 個の重複 = 3×2×1 = 6 (3) B 2 個の重複 = 2×1 = 2 (4) C 1 個は割らなくていい (重複なし) (5) 720 ÷ (6 × 2) = **60 通り** 種類が増えてもやることは同じ。 【先生】 「部屋分け」も同じ仕組み。 **6 人を 4 人部屋と 2 人部屋に分ける**: → 4 人部屋に入る 4 人を 6 人から選ぶ。残り 2 人は自動的に 2 人部屋。 → 6 人から 4 人選ぶ = (6×5×4×3) ÷ (4×3×2×1) = 15 通り あるいは「2 人部屋の 2 人を選ぶ」と考えても同じ:6×5÷2 = 15 通り。 **部屋のサイズが違えば、片方を選べば残りは自動的に決まる**。 【? 理解確認】 8 人を「**5 人組と 3 人組**」に分けるのは何通り? 28 通り ✓ 56 通り 120 通り 【正解】 正解! 8 人から 3 人組の 3 人を選ぶ = (8×7×6)÷(3×2×1) = 336÷6 = 56 通り。 残り 5 人は自動的に 5 人組。 【先生】 ただし注意。**同じサイズの 2 組** に分けるときは ÷2 を忘れない! 例: 4 人を 2 人組 2 つに分ける → (4×3÷2) = 6 通りだけど、組 1 と組 2 は区別がない。 (A,B)(C,D) と (C,D)(A,B) は同じ分け方。 だから 6 ÷ 2 = **3 通り** が正解。 順列・組み合わせ (2) の鉄則: ・**同じものを含む並べ** = 全並べ ÷ (同じ数の積) ・同じものは「**場所を選ぶ組み合わせ**」と読み替え可 ・**サイズの違う部屋** = 片方選べば残りは自動 ・**サイズが同じ組** に分けるときは ÷2 を忘れない