【先生】 場合の数で一番大事な分かれ目を教えるよ。 問題を見たら、まず自分にこう聞いて: **「順序って関係ある? ない?」** ・順序が関係ある → **並べる (順列)** ・順序が関係ない → **選ぶ (組み合わせ)** ここを間違えると、答えが 2 倍や 6 倍ズレる。 【先生】 見分け方のコツ。 ・「**班長と副班長**」を選ぶ → 役職が違う → 順序あり → **並べる** ・「**代表 2 人**」を選ぶ → 2 人とも同じ立場 → 順序なし → **選ぶ** ・「**おやつ 2 個**」を取る → 同じ立場 → 選ぶ ・「**1 位と 2 位**」を決める → 順位が違う → 並べる 「役職・順位が違う」=並べる、「同じ立場でまとめて」=選ぶ。 【先生】 数え方は樹形図でイメージしよう。 5 人から 2 人を **並べる** (班長・副班長): ・班長 5 通り。それぞれに副班長 4 通り。 ・5 × 4 = **20 通り**。 5 人から 2 人を **選ぶ** (代表 2 人): ・(A,B) と (B,A) は同じ 1 組。 ・並べる 20 通りには「順番違いの重複」が 2 個ずつ入ってる。 ・だから 20 ÷ 2 = **10 通り**。 【? 理解確認】 5 人の中から **代表 2 人** を選ぶ方法は何通り? ✓ 10 通り 20 通り 25 通り 【正解】 正解! 並べると 5×4=20 通りだけど、(A,B) と (B,A) は同じ 1 組だから 2 で割って 10 通り。 【先生】 「選ぶ」の公式を一般化しよう。 **N 個から K 個を選ぶ** = (N × (N−1) × … × K 個ぶん) ÷ (K × (K−1) × … × 1) 例: 6 個から 3 個選ぶ = (6×5×4) ÷ (3×2×1) = 120 ÷ 6 = **20 通り** 分子は K 個、分母も K 個の整数。バランスを覚えよう。 【先生】 「掛けるか足すか」も大事。 ・**男子 4 人から 2 人** かつ **女子 3 人から 1 人** を選ぶ → 別々の選択を組み合わせるので **掛け算** → (4×3÷2) × 3 = 6 × 3 = **18 通り** 「**かつ**」が出てきたら掛け算、「**または**」なら足し算。 【? 理解確認】 男子 4 人・女子 3 人から、男子 2 人・女子 1 人の係を作る方法は? 7 通り 12 通り ✓ 18 通り 【正解】 正解! 男子 4 人から 2 人 = 4×3÷2 = 6 通り。女子 3 人から 1 人 = 3 通り。掛けて 6×3 = 18 通り。 【先生】 「**隣り合う**」条件のテクも教えるよ。 A〜E の 5 人を並べるとき、A と B が **隣り合う** ような並べ方は? ・A と B を 1 つの **セット (箱)** にまとめる → 4 個 (箱+C+D+E) を並べる = 4×3×2×1 = 24 通り ・箱の中で A と B の順は (AB) (BA) の 2 通り → ×2 ・合計 24 × 2 = **48 通り** 「セット化したらセット内の順を最後に掛ける」を忘れずに。 順列・組み合わせ (1) の必勝 4 ルール: ・「順序あり」=並べる、「順序なし」=選ぶ ・選ぶ = 並べる ÷ (選ぶ個数の階乗的な積) ・「かつ」=掛け算、「または」=足し算 ・隣り合うはセット化、最後にセット内の順を ×