【先生】 今日は「分数」。基本の通分・約分は OK だよね? ここで覚えてほしいのは **「かけて整数になる最小の分数」** という超有名パターン。 公式さえ知ってれば 10 秒で解けるけど、知らないと一生解けないタイプの問題。 【先生】 まず基本の整理。 ・**約分**: 分母分子を **最大公約数 で割る** → 既約分数 (これ以上約分できない) ・**通分**: 分母を **最小公倍数 にそろえる** → 大きさ比較や足し算ができる ・約分は 最大公約数、通分は 最小公倍数。約数と倍数の単元で出てきたツールがそのまま使える。 【? 理解確認】 12/18 を約分すると? 1/2 ✓ 2/3 3/4 【正解】 正解! 12 と 18 の 最大公約数 = 6。両方 6 で割って 2/3。 【先生】 ここから本題。**「2/3 と 4/5 のどちらにかけても整数になる最小の分数」** を求めたい。 求める分数を A/B とすると、(2/3) × (A/B) と (4/5) × (A/B) の両方が整数になる条件。 これを 1 つずつ考えると地獄。 でも **覚えるべき公式 1 行** で一発で出る。 【先生】 公式: **求める分数 A/B = 最小公倍数(分子) / 最大公約数(分母)** 覚え方: **「分子は 最小公倍数、分母は 最大公約数」** (上下とも「分」がつく方が一致する) 2/3 と 4/5 の場合、 ・A = 最小公倍数(2, 4) ? いや待って、これ「**分母** の 最小公倍数」 が A。 ・B = 最大公約数(2, 4) ? いや、これ「**分子** の 最大公約数」 が B。 → 正しくは A/B = **最小公倍数(分母 3, 5) / 最大公約数(分子 2, 4)** = 15/2。 【先生】 確認: 15/2 をかけてみよう。 (2/3) × (15/2) = 30/6 = **5** ✅ 整数! (4/5) × (15/2) = 60/10 = **6** ✅ 整数! ちゃんとどっちにも整数になる。 なんで分子が 最小公倍数 になるかというと、 **「相手の分母を打ち消す」ためには 相手の分母の倍数 (=最小公倍数) が必要** だから。 【先生】 もう少し詳しく。 ・(2/3) を整数にするには、A/B の **A が 3 の倍数** であり、**B が 2 の約数**。 ・(4/5) を整数にするには、A が **5 の倍数**、B が **4 の約数**。 → A は 3 と 5 の公倍数のうち最小 (=最小公倍数=15)、B は 2 と 4 の公約数のうち最大 (=最大公約数=2)。 → A/B = **15/2**。これが「分子 最小公倍数・分母 最大公約数」の正体。 【? 理解確認】 「3/4 と 5/6 のどちらにかけても整数になる最小の分数」は どれ? 12/15 12/1 (=12) ✓ 12/(3,5 の 最大公約数=1) = 12 【正解】 正解! 分子 = 最小公倍数(4, 6) = 12、分母 = 最大公約数(3, 5) = 1。答え = 12。 確認: 3/4 × 12 = 9 ✅、5/6 × 12 = 10 ✅。 【先生】 別パターン: **「既約分数 + 分母分子の和 or 差」からもとの分数を求める** 型。 例: 「ある分数を既約に直すと 3/5。もとの分数の分母 + 分子 = 64」 → 倍率 = 64 ÷ (3 + 5) = 8。 → もとの分数 = (3×8) / (5×8) = **24/40**。 「分母分子の比」が分かれば、和か差で倍率が出せる、と覚えよう。 【? 理解確認】 既約分数 2/7。もとの分数の分母 − 分子 = 25。もとの分数は? ✓ 10/35 14/49 20/70 【正解】 正解! 倍率 = 25 ÷ (7−2) = 5。もとの分数 = (2×5)/(7×5) = **10/35**。 分数、覚えるのはこの 3 つ: ・約分 = **最大公約数 で割る** / 通分 = **最小公倍数 にそろえる** ・かけて整数になる最小分数 = **分母の 最小公倍数 / 分子の 最大公約数** ・「既約 + 和 or 差」 → **倍率 = (和 or 差) ÷ (既約の和 or 差)** 全部「最大公約数 と 最小公倍数」のおかげ。約数・倍数を制す者は分数も制す。