【先生】 今日は「素因数分解」。 正直に言うね。**素因数分解は、約数の世界の魔法のメガネ**。 これができると、約数の個数・末尾の 0 の数・倍数判定が **一瞬で** 出せるようになる。 【先生】 まず素数のおさらい。 **素数** = 1 と自分自身でしか割り切れない 2 以上の整数。 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 … (30 までに 10 個) **1 は素数じゃない** (1 は約数 1 個しかない)。これ、引っかけ問題で出る! 【先生】 素因数分解 = 整数を素数の積で書くこと。 やり方は、小さい素数から順に割る連除法。 例) 360 2 ) 360 2 ) 180 2 ) 90 3 ) 45 3 ) 15 5 ← 素数になったら終わり → 360 = **2³ × 3² × 5** 【? 理解確認】 60 を素因数分解すると? 2 × 3 × 5 ✓ 2² × 3 × 5 2² × 3² × 5 【正解】 正解! 60 = 4 × 15 = 2² × 3 × 5。指数を忘れずに書くのが大事。 【先生】 ここからが素因数分解の真の力。 **約数の個数 = (それぞれの素数の指数 + 1) の積**。 例) 360 = 2³ × 3² × 5¹ の約数は (3+1)×(2+1)×(1+1) = **24 個**。 1 個ずつ書き出さなくても一瞬で出る! 【先生】 なんで「指数 + 1」なんだろう? それは、約数を作るときに各素数を **「何個使うか」を自由に選べる** から。 2³ なら、2 を「0 個 / 1 個 / 2 個 / 3 個」の **4 通り** から選ぶ。 3² なら 3 を「0 個 / 1 個 / 2 個」の **3 通り**。 選び方の積で、全部の約数が作れる = 4 × 3 × 2 = 24。 【? 理解確認】 200 = 2³ × 5²。200 の約数は何個? 6 個 8 個 ✓ 12 個 【正解】 正解! (3+1)×(2+1) = 4×3 = 12 個。指数に **+1 する** のを忘れないで。 【先生】 もう 1 つの神ワザ。**末尾の 0 の数**。 「1 から 20 までの積 (= 20!) の末尾には 0 がいくつ並ぶ?」 10 = 2×5 だから、末尾の 0 は「2 と 5 のペアの数」。 でも 2 は 5 よりずっと多く出てくる → **答えは 5 の指数の合計**。 【先生】 計算法: 20! に 5 が出る回数 = [20÷5] + [20÷25] = 4 + 0 = **4 個**。 (5, 10, 15, 20 で 5 が 1 個ずつ = 4 個。25 以上は無いので終わり) → 20! の末尾には 0 が **4 個** 並ぶ。 100! なら [100÷5]+[100÷25]+[100÷125] = 20+4+0 = **24 個**。 【? 理解確認】 「素因数分解で約数の個数を一発で出す」場合、指数に何をする? 指数を全部足す ✓ 指数に 1 を足してから 全部 かける 指数を全部 かける 【正解】 正解! **(指数 +1) の積**。+1 を忘れる子が一番多い落とし穴。 素因数分解、覚えるのはこの 3 つ: ・小さい素数から **連除法** で分解 ・約数の個数 = **(指数 +1) の積** (+1 を忘れない!) ・末尾の 0 の数 = **5 の指数を数える** ([N/5]+[N/25]+…) おまけ: **1 は素数じゃない**。