【先生】 前の単元で 最大公約数 と 最小公倍数 の出し方を覚えたね。 今度はそれを **文章題に応用** する単元。 ここで一番の山は「**長方形と正方形** の問題」。 板を **切る** か **並べる** かで 最大公約数 と 最小公倍数 が真逆になる、超大事ポイント。 【先生】 覚え方はめちゃくちゃシンプル。 ・**大きな板を切って小さな正方形** → 一辺は **最大公約数** (たて, よこ) ・**小さな長方形を並べて大きな正方形** → 一辺は **最小公倍数** (たて, よこ) 「切る → 小さく → 最大公約数 (約数)」「並べる → 大きく → 最小公倍数 (倍数)」。 サイズが小さくなる方が 最大公約数、大きくなる方が 最小公倍数。 【? 理解確認】 「たて 18cm、よこ 24cm のタイルを並べて、できるだけ小さい正方形を作りたい。一辺は?」これは 最大公約数?最小公倍数? 最大公約数 = 6cm ✓ 最小公倍数 = 72cm 最大公約数 = 6cm を使うけど答えは 72cm 【正解】 正解! 「並べて正方形」だから 最小公倍数。18 と 24 の 最小公倍数 = 72 で、一辺 72cm の正方形ができる。 【先生】 逆パターンも。「たて 18cm、よこ 24cm の **板** を、あますことなく **同じ大きさの正方形** に切り分けたい。 1 辺を **できるだけ大きく** するには?」 これは 最大公約数 = 6cm。 正方形の一辺は 18 と 24 の両方を割り切れないとダメ → 公約数 → 最大なら 最大公約数。 【先生】 次に大事な応用が「**周りに等間隔で木を植える**」型。 長方形の周りに、頂点を含めて等間隔で杭を立てる。 ・**間隔** = 辺の長さの **最大公約数** (全部の辺を割り切らないとダメ) ・**本数** = 周の長さ ÷ 間隔 これも「同じ間隔で分ける」だから 最大公約数 だね。 【? 理解確認】 たて 24m、よこ 30m の長方形の畑の周りに、頂点を含めて等間隔で木を植える。間隔をできるだけ広くするとき、間隔は何 m? 3m ✓ 6m 120m (=最小公倍数) 【正解】 正解! 24 と 30 の 最大公約数 = 6m。1 本でいいから「全ての辺を割り切る最大の長さ」=最大公約数。 【先生】 もう 1 つ、配り問題。 「リンゴ 50 個を子どもに同じ数ずつ配ったら 2 個あまった。子どもの人数は?」 → 子どもの人数 = **(50 − 2) = 48 の約数** (= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48)。 ただし重要な縛り: **人数 > あまり (2)**。 なぜなら、人数が 2 以下ならあと 1 個ずつ配れちゃう → あまりが 2 にならない。 【? 理解確認】 「リンゴ 50 個を配ったら 4 個あまった」、人数として ありえないのは? 6 人 23 人 ✓ 3 人 【正解】 正解! 3 人ならあと 1 人ずつ配れる (3<4)。人数は 必ず **あまりより多い** が条件。 約数・倍数の利用、覚えるのはこの 4 パターン: ・**切って正方形 = 最大公約数 / 並べて正方形 = 最小公倍数** ・周りに等間隔 (木・杭) = **最大公約数** ・配って n あまる = **(全体 − n) の約数**, ただし **人数 > n** ・a の倍数だが b の倍数でない個数 = a の倍数 − **最小公倍数(a,b)** の倍数