【先生】 今日のテーマは「約数・倍数」。 公約数・公倍数の問題で 9 割の子がつまずくのは、計算じゃなくて **「最大公約数 を求める問題? それとも 最小公倍数 を求める問題?」を取り違えること** なんだ。 見分け方さえ覚えれば、あとは連除法 (すだれ算) で一発。 【先生】 まず言葉の整理。 ・**約数**: ある数を **割り切る** 数 (12 の約数 = 1, 2, 3, 4, 6, 12) ・**倍数**: ある数を **整数倍した** 数 (3 の倍数 = 3, 6, 9, 12, …) ・**最大公約数**: 2 つの数の共通の約数のうち最大 ・**最小公倍数**: 2 つの数の共通の倍数のうち最小 【先生】 見分け方の合言葉。 ・「**あますことなく分ける**」「**できるだけ大きく分ける**」→ 最大公約数 ・「**そろえる**」「**ちょうどぴったり一緒になる**」→ 最小公倍数 「分ける」系は 最大公約数、「そろえる」系は 最小公倍数。これだけで方向は決まる。 【? 理解確認】 「48 個のリンゴと 36 個のミカンを、あますことなく同じ数ずつ分けたい。最大で何人に分けられる?」これは 最大公約数?最小公倍数? ✓ 最大公約数 最小公倍数 どっちでもない 【正解】 正解! 「あますことなく分ける = 最大公約数」。48 と 36 の 最大公約数 = 12 で、最大 12 人に分けられる。 【先生】 最大公約数 と 最小公倍数 を一気に出せる神ツールが **連除法 (すだれ算)**。 2 数を縦に並べて、共通の素数で順に割っていくだけ。 ・**縦に並んだ数の積** = 最大公約数 ・**縦 × 横の残り全部** = 最小公倍数 1 つの図で両方出るから、絶対マスターしよう。 【先生】 例) 24 と 36 の 最大公約数・最小公倍数。 2 ) 24 36 2 ) 12 18 3 ) 6 9 2 3 ← もう共通で割れない 最大公約数 = 2×2×3 = **12** (縦) 最小公倍数 = 2×2×3×2×3 = **72** (縦 × 横の残り) 【? 理解確認】 30 と 45 を連除法すると、共通で割れるのは 3 と 5 (順番はどっちでも)。最大公約数 はいくつ? 3 ✓ 15 90 【正解】 正解! 縦に並ぶのは 3 と 5 だから、最大公約数 = 3×5 = 15。ちなみに 最小公倍数 = 15×2×3 = 90。 【先生】 もう 1 つ覚えておきたい、超大事なルール。 **公約数は 最大公約数 の「約数」**、**公倍数は 最小公倍数 の「倍数」**。 例: 24 と 36 の 最大公約数 は 12 → 公約数は 12 の約数 (1, 2, 3, 4, 6, 12)。 「公約数を全部書け」系の問題は、最大公約数 さえ出せば終わり。 【先生】 応用ワザ: あまりがある問題。 ・「○ で割って **a あまる**、△ で割って **b あまる**」 (あまりが同じ b) → 答えは **最小公倍数(○, △) の倍数 + b** ・「○ で割って a あまる、△ で割って a あまる」(あまりがちがう) → `(N − a)` と `(M − a)` のような形に直して公約数で。 「あまり」が出てきたら、まず **あまりを引いて整数化** が定石。 約数・倍数の鉄則 4 つ: ・「分ける」系 = **最大公約数**、「そろえる」系 = **最小公倍数** ・連除法で 最大公約数 (縦) と 最小公倍数 (縦 × 横) を **一気に** ・公約数は **最大公約数 の約数**、公倍数は **最小公倍数 の倍数** ・あまりが同じなら **最小公倍数 の倍数 + あまり**