【先生】 今日は「円が転がる・通る」問題の必勝法。 正方形のまわりを半径 r の円が外側で 1 周する。 **円の中心の動いた距離** と、**円が通った部分の面積** を求めるのが超頻出。 【先生】 まず、円の中心が描く図形をイメージしよう。 正方形の **辺の上**:中心は辺と平行に直線で動く(距離 = 正方形の辺の長さ) 正方形の **角**:中心は角を曲がるとき **四分円(90° のおうぎ形)** を描く → 4 つの角で四分円が 4 つ。**合わせると円 1 個分**! 【先生】 だから、円の中心の動いた距離 = **正方形の周(4 辺)+ 半径 r の円 1 周(2πr)** 1 辺 a の正方形なら、4a + 2πr。 「四分円 4 つ = 円 1 つ」が裏ワザ。 【? 理解確認】 1 辺 10 cm の正方形のまわりを、半径 2 cm の円が外側で 1 周。 **円の中心**が動いた距離は? (π=3.14) 40 cm ✓ 40 + 4π cm (約 52.56 cm) 40 + 8π cm (約 65.12 cm) 【正解】 正解! 直線部分 = 正方形の周 = 40。曲線部分 = 半径 2 の円 1 周 = 4π。合計 40 + 4π = 約 52.56 cm。 【先生】 次は **通った部分の面積**(掃いた領域)。 ・直線部分:辺の長さ × 円の幅(= 2r) ・角部分:四分円 4 つ = **半径 2r の円 1 つ** (←半径は r じゃない! 円の直径 2r) 面積も「四分円 4 つ = 円 1 つ」が決まり。 【先生】 つまり、1 辺 a の正方形まわりを半径 r の円が外側 1 周したときの **通った面積** = **4 × a × 2r + π × (2r)²** = 8ar + 4πr² ここを公式として覚えなくていいから、「**直線 + 角の円**」の組み立てだけ覚えて。 【? 理解確認】 外側 1 周の「**角部分**」の面積は、合わせるとどんな図形になる? 半径 r の円 1 つ ✓ 半径 2r の円 1 つ 半径 r の半円 1 つ 【正解】 正解! 角の四分円 4 つ = 円 1 つ。 **面積を考えるとき**、半径は **2r**(円の幅まで角に届く)。距離(中心の軌跡)のときは半径 r。 【先生】 **内側を回る場合**はさらに罠がある。 ・正方形の内側を 1 周 → 4 隅に **届かない正方形**(1 辺 2r)ができる ・中心は 1 辺 a−2r の小さい正方形を描く(辺だけ、角は内側で曲がる必要なし) 「外側 = 円 1 個分プラス、内側 = 4 隅マイナス」で覚えよう。 【先生】 応用「**牛の綱問題**」。 牛が長さ L のひもで小屋の角に繋がれてる。動ける範囲は? → おうぎ形の継ぎはぎ。角を回り込むと残り綱が短くなる。 **角を曲がるたびに半径が短くなる**を忘れずに。 例:L=10、小屋の辺 4 なら、最初 270°(3/4 円) 半径 10、次の角からは 半径 10−4=6 で 90° 分、…と続く。 図形の移動 (2) のおさえどころ: ・**外側 1 周**:角の四分円 4 つ = 円 1 つ ・**中心の軌跡**は半径 r、**面積**は半径 2r ・**内側 1 周**:4 隅に届かない正方形(1 辺 2r)が残る ・**牛の綱**は角を曲がるたびに半径が短くなる