【先生】 今日は相似の応用編。中堅校で頻出のテクをまとめて教えるね。 1 つ目は超強力なやつ。 **直角三角形の直角の頂点から、斜辺に垂線(高さ)を下ろすと、 相似な直角三角形が 3 つできる**。 【先生】 図にすると:直角三角形 ABC (∠B が直角)。 頂点 B から斜辺 AC に垂線 BH を下ろす。 すると、できる 3 つの三角形: ・△ABC (元の三角形) ・△ABH (左半分) ・△BCH (右半分) **この 3 つは全部相似**。角の組み合わせが同じだから。 【先生】 なぜ? △ABH は ∠A と ∠AHB(直角)と… 3 つ目は 180−A−90 = 90−A。 △ABC も ∠A と ∠B(直角)と ∠C = 90−A。 → 同じ角の組合せ。だから相似。同じ理由で △BCH も △ABC と相似。 【? 理解確認】 直角三角形 ABC (∠B=90°)、AB=3、BC=4、AC=5。B から AC に垂線 BH。 BH の長さは? ✓ 12/5 5/3 3 【正解】 正解! △ABC の面積で考える。3×4÷2 = 6。 別の見方で 5×BH÷2 = 6 → BH = 12/5。これも相似のおかげで使える発想。 【先生】 2 つ目のテク。**長方形を折り返す問題**。 折り目の両側で **三角形が相似** になることが超多い。 「折り目で対称」+ 「長方形の角は全部直角」の組み合わせで、 相似な直角三角形が自然に現れる。 【先生】 ポイントは: ・折り返した辺の長さは元と **同じ** ・折り返した角の大きさも元と **同じ** ・折り目をはさんで対称 → これで「相似な直角三角形」を 2 つ見つけて、辺の比から長さを出す。 【? 理解確認】 正方形の **2 つの対辺を 3 等分する点**を結んだとき、内部にできる三角形について、 正方形側の三角形 と 内側の三角形 で正しいのは? 合同(全く同じ) ✓ 相似だが大きさが違う 関係はバラバラ 【正解】 正解! 平行線で切られて相似な三角形ができる。大きさは違うけど形は同じ。 「3 等分」みたいに比が決まってると、相似比もすぐ出る。 【先生】 難問になると、**相似を 2 段使う**ことも多い。 1 段目で出した比を、2 段目で使う。 このとき大事なのは:**比は 最小公倍数 でそろえる**。 1 段目で 3:2、2 段目で 4:5 ならまず 3:2 を 12:8、4:5 を 12:15 にそろえる。 そうしないと比が混ざって計算がおかしくなる。 相似 (2) の必殺技: ・**直角三角形を高さで切る** → 相似 3 兄弟 ・**面積を 2 通りで書く** → 高さや辺が一発で出る ・**折り返しは「同じ長さ・同じ角」+ 相似** ・**2 段相似は 最小公倍数 でそろえる**