【先生】 今日は「動く図形」の話。 正方形が直線の上をすべらないように転がる、これが定番問題。 頂点 A はどんな軌跡を描く? 直線でもなく、ぐるぐるでもない。**おうぎ形の弧** を描くんだ。 【先生】 イメージしてみよう。1 辺 6 cm の正方形が、ある頂点を中心にして 90° 回転する。 そのとき、別の頂点 A は中心から **対角線 or 1 辺 or 対角線** の距離で円を描く。 つまり、1 回転がるごとに「半径〇の おうぎ形 90°」を 1 つずつ描く。 【先生】 もう少し具体的に。1 辺 a の正方形 ABCD が転がるとき、頂点 A の軌跡は: 1 回目の転がり:A は中心 B のまわりを 90°、半径 = AB = a 2 回目:中心 C、半径 = AC = a√2 (対角線、でも小学生は単に「対角線」) 3 回目:中心 D、半径 = AD = a 4 回目:A 自身が地面につくので、A は動かない。 【? 理解確認】 1 辺 6 cm の正方形が直線の上を 1 回 (90°) 転がるとき、 **回転の中心になった頂点とは別の、隣の頂点**の動いた距離は? (π=3.14) 6 × 3.14 cm ✓ 3 × 3.14 cm 1.5 × 3.14 cm 【正解】 正解! 半径 6 で 90° = 1/4 円。弧 = 直径12 × 3.14 × 1/4 = 3 × 3.14 = 9.42 cm。 【先生】 次は「2 点 P, Q が辺を動く」タイプ。 **いつ PQ が AB と平行になるか?** 答え:長方形 ABCD で、AP + CQ = AB のとき。 これは「同じ高さに揃う」って意味で、ちょっと数式チック。 【先生】 もっと有名な「**四角形 ABQP の面積が元の半分になるのは?**」。 答え:**台形 ABQP の中央線 = もとの長方形の中央線** のとき、つまり (AP + BQ) ÷ 2 = AD/2、つまり **AP + BQ = AD**。 このタイプは「足したら一辺の長さ」のパターンを覚えておくと、一気に式が立つ。 【? 理解確認】 長方形 ABCD (AB=10, BC=6) で、P は A から B に毎秒 1 cm、Q は C から D に毎秒 1 cm で出発。 PQ が AD (左の辺) と平行になるのは何秒後? ✓ 5 秒後 10 秒後 PQ は AD と平行にならない 【正解】 正解! P と Q は同じ速さで反対側を動くから、5 秒後にちょうど中央同士で揃う。 AP = 5、DQ = 5 (=CQ なので CD=10 のうち)。PQ が縦になる。 【先生】 ちなみに「往復」する問題は要注意。 P が端まで行って **折り返した瞬間** の位置を、必ずチェックすること。 「○秒後」と聞かれて、折り返し後の時間で式が変わるパターンが頻出。 図形の移動 (1) のコツ: ・**転がる正方形の頂点** は おうぎ形の弧を描く (半径は辺 or 対角線) ・**π は最後にまとめて 1 回** ・「PQ が平行」「面積が半分」は **AP+BQ=辺の長さ** で式を立てる ・**往復の折り返し** をいつも意識