【先生】 水の入った容器の問題。傾けたり、おもりを沈めたり、ぐちゃぐちゃ動きそうに見えるけど、 実は **「水の体積は変わらない」** ただ 1 つの原則で全部解ける。 こぼれない限り、水の量は同じ。傾けても・物を沈めても・形が変わっても。 「体積保存」だけ覚えて。 【先生】 まず **傾けた容器**。直方体の容器を辺で傾けると、水面は斜めになる。 でも **奥行きが一定** なら、横から見ると **台形 (または三角形)** の断面で水が入ってる。 傾ける前の **長方形の面積** = 傾けた後の **台形の面積** (どちらも水の断面)。 「面積で立式」できる。 【先生】 公式は超シンプル。 **台形の面積 = (上底 + 下底) × 高さ ÷ 2** これが傾ける前の長方形の面積と等しい。 「水面が容器の縁にギリギリ届いた」「水面が底に届いた」みたいな 境界条件は、上底や下底が 0 になるだけで、同じ式で解ける。 【? 理解確認】 底が 10 cm × 10 cm、高さ 20 cm の直方体容器に、深さ 8 cm まで水が入っている。 容器を傾けて、水面が容器の上の縁と底の縁を結ぶ斜め線になったとき、 **奥行き 10 cm の側面から見た水の断面** はどんな図形? 長方形 台形 ✓ 三角形 【正解】 正解! 水面が「上の縁と底の縁を結ぶ」=水面が一方の底辺に達するから、断面は **三角形**。傾ける前の長方形 10×8=80 cm² と、三角形の面積が等しい。 【先生】 次は **おもりを沈める**。これも体積保存で考える。 おもりが **完全に水中** に沈むとき: **見かけ上の水の体積 = 元の水の体積 + おもりの体積** 見かけ上の水は「容器の底面積 × 上がった水面」。 ここに、おもりが場所をとってる分を引いてバランス。 【先生】 もう少し具体的に。容器の底面積を S、おもりの底面積を s、おもりの高さを h、上がった水面を ↑ とすると、 **おもりの体積 (s × h) = (S − s) × ↑** → **↑ = (s × h) ÷ (S − s)** 「容器とおもりのすき間に水が押し出される」イメージ。 【先生】 ただし注意! これは **おもりが完全に沈んだ** ときだけ。 もし **おもりが水面より上に飛び出してる** なら、底面積はおもり関係なく容器の S のまま。 **↑ = (おもりの水中体積) ÷ S** で計算する (おもりの水面下の部分だけ)。 **「完全に沈むか?」は必ず判定** が必要。 【? 理解確認】 底面積 100 cm² の容器に水が入っている。底面積 20 cm²・高さ 10 cm の直方体おもりを、 **完全に沈めた**。水面は何 cm 上がる? 1 cm 2 cm ✓ 2.5 cm 【正解】 正解! おもりの体積 = 20×10 = 200 cm³。これが容器底面積からおもり底面積を引いた (100−20)=80 cm² の部分を埋める。200÷80 = 2.5 cm。 【先生】 **逆におもりを引き上げる** と、水面は **必ず下がる**。 水面下にあったおもりの体積分だけ、すき間ができるから。 「下げ ↓ = 引き上げで減ったおもり水中体積 ÷ 容器の底面積」。 (おもりが完全に水中にあった場合は、底面積は容器ぴったり)。 底面積の変化のキモ: ・**水の体積は不変** (保存則) ・傾け → **台形 (or 三角形) の面積** で立式 ・**完全に沈む** → ↑ = (s×h) ÷ (S−s) ・**水面より上に出る** → ↑ = 水中体積 ÷ S ・**沈むか判定** を必ず最後にチェック