【先生】 今日は立方体の超頻出問題、**「色塗り立方体」**。 大きな立方体の表面全部に色を塗ってから、小さい立方体 n×n×n 個にバラす。 「色が 3 面ついた」「2 面ついた」「1 面」「0 面」のがそれぞれ何個か。 実はこれ、立方体の構造で 4 つのグループに分けるだけで一瞬で出る。 【先生】 立方体の構造を思い出そう。立方体には: ・**頂点 (隅) が 8 個** ・**辺が 12 本** ・**面が 6 つ** ・**内側 (どの面にも触れない)** が中央にひとかたまり 「8 隅・12 辺・6 面・1 中」と唱えよう。色のつき方はこの 4 種類しかない。 【先生】 それぞれの個数の公式 (1 辺を n 個に分けたとき): ・**3 面に色 = 頂点に来る小立方体 = 8 個** (n に関係なく常に 8!) ・**2 面に色 = 辺の中央に来る = 12 × (n−2)** ・**1 面に色 = 面の中央に来る = 6 × (n−2)²** ・**0 面 = 内側 = (n−2)³** 「8、12×、6ײ、³」のリズムで覚える。 【先生】 なぜ (n−2) なの? 辺 (n 個) の両端は頂点だから、辺の中央は両端を除いて n−2 個。 面の中央も、まわり 1 列ぶんを除いて (n−2)×(n−2) 個。 内側は、表面の 1 層分を除くから (n−2)³ 個。 「両端 (フチ) を除く」ぶんが −2。 【? 理解確認】 1 辺を 4 等分した立方体 (4×4×4=64 個) の表面に色を塗ってバラしたとき、 **2 面が赤** の小立方体は何個? 8 個 12 個 ✓ 24 個 【正解】 正解! 2 面赤 = 辺の中央 = 12 × (n−2) = 12 × (4−2) = 12 × 2 = 24 個。 【先生】 もう 1 つ大事なのが **「展開図」**。立方体の展開図は 11 種類あるよ。 全部覚えるのは大変。代わりに、**「3 点が決まれば 4 点目が決まる」** 性質を使おう。 1 つの正方形の隣り合う 3 つの辺がどの面とつながってるか分かれば、 残りの 1 辺 (4 点目) はもう決まってる。 【先生】 もう 1 つの裏ワザ。展開図で「**離れた 2 つの正方形が立体ではどこで会うか**」を見抜くコツ。 **「コの字に並んだ 3 マスは、両端が立体で接する」** (折ると向かい合う)。 「L 字に並んだ 3 マスは、両端が立体でとなり合う」 (折ると 90° で接する)。 頂点・辺の対応を聞かれたら、このパターンで探す。 【? 理解確認】 立方体の頂点と頂点を結ぶ「最も離れた 2 点」(対角頂点) の組は何組ある? 3 組 ✓ 4 組 8 組 【正解】 正解! 立方体の頂点は 8 個、対角頂点はペアだから 8÷2 = **4 組**。立方体の中心を通る対角線が 4 本ある、と覚えても OK。 【先生】 **切断**もチラッと触れておこう。立方体を 3 点を通る平面で切ると、 切り口は 三角形・四角形・五角形・六角形 のどれかになる。 ルールは 1 つだけ:**平行な面では平行な線が切り口**。 向かい合う 2 面の片方に切り目が見えたら、もう片方にも **平行に** 引く。 これを守るだけで切断面が自然に閉じる。 立方体の必勝ポイント: ・色塗りは **8 隅 / 12 辺 / 6 面 / 1 中** の 4 グループ ・**3 面=8、2 面=12(n−2)、1 面=6(n−2)²、0 面=(n−2)³** ・展開図は「3 点が決まれば 4 点目」で対応を取る ・切断は **平行な面では平行な線**