【先生】 今日は **円すいの展開図** の話。 円すいを開くと、側面は「**おうぎ形**」、底面は「円」になるよね。 この **おうぎ形の中心角** をどう出すか、これが超頻出。 公式はたった 1 本: **中心角 = (底面の半径 ÷ 母線) × 360°** 【先生】 理由を理解すると忘れない。 おうぎ形の **弧の長さ** = 母線 × 3.14 × 2 × (中心角÷360°) これが底面の円の **円周** と等しい (くっつくところだから)。 底面の円周 = 半径 × 3.14 × 2。 両方をイコールで結んで、3.14×2 を消すと: 母線 × 中心角÷360 = 半径 → **中心角 = (半径 ÷ 母線) × 360°**。 【? 理解確認】 底面の半径 2 cm、母線 6 cm の円すい。展開図の側面 (おうぎ形) の **中心角** は何度? 60° ✓ 120° 180° 【正解】 正解! (2 ÷ 6) × 360° = (1/3) × 360° = 120°。 【先生】 ちょっと応用。**「円すいを横に倒して転がすと何回転で元に戻るか」** 問題。 答え:**回転数 = 母線 ÷ 底面の半径**。 理由は、転がしてできる大きな円の半径 = 母線。 その円周 ÷ 円すい底面の円周 = 母線÷半径。 覚えておくと一瞬で解ける。 【先生】 次は **投影図**。立体を「真正面」「真上」「真横」の 3 方向から見た図のこと。 これ 3 つから元の立体を復元するんだけど、コツは: ・**真上から見た輪郭** = 底面の形 ・**真正面・真横** = 高さの情報 ・「四角に見えても柱とは限らない」(円柱を横から見たら長方形) **必ず 3 図全部** を使って、勝手に決めつけない。 【? 理解確認】 立体の **真正面が円・真上も円・真横も円** だった。この立体は? 円柱 円すい ✓ 球 【正解】 正解! どの方向から見ても円になるのは **球** だけ。円柱は横から見ると長方形、円すいは横から見ると三角形。 【先生】 もう 1 つ、**「ひもの最短距離」** も展開図で解く定番。 立体の表面に張ったひもの最短経路は、**立体を展開して直線で結ぶ**。 立体上だと曲がって見えても、展開図の上では一直線。 ここで「展開する面の組み合わせは複数ある」のがポイント。最短になる展開を探す。 【先生】 例:直方体の頂点 A から、向かいの面の点 P を通って G まで張る最短ひも。 前面と上面をくっつけて展開すると、A-P-G が直線になる。 そのうえで **相似** を使うと、P が辺のどこにくるかも自然に決まる。 「曲がって見えるものを直線に伸ばす」、これが展開図の最大の力。 展開図・投影図のポイント: ・**円すいの中心角 = (半径÷母線) × 360°** ・**転がす円すい** は 母線÷半径 回で 1 周 ・投影図は 3 図全部見て決めつけない ・**ひもの最短** は展開して直線、面の組合せは複数試す