【先生】 今日は規則性の応用編。 ・**N 進法** (位取りゲーム) ・**空きビン交換** ・**倍数を順に並べる** ・**数字スキップ** (4 を飛ばす番号など) 見た目は別の問題に見えるけど、どれも「**あまり** をうまく使う」が共通の正体。 【先生】 まず **N 進法**。 「玉が k 個たまったら、となりのマスに 1 個」というルール = **k 進法**。 ふだん使う十進法は「10 個たまったら 1 つ上の位」。 5 進法なら「5 個たまったら 1 つ上の位」。 **各マスの 1 個の重み** は 1, k, k², k³, ... と上がっていく。 【先生】 例: 5 進法で「2 1 3」と書いてある = 十進法でいくつ? → 一番右が 1 の位、次が 5 の位、その次が 25 の位。 → 2×25 + 1×5 + 3×1 = 50 + 5 + 3 = **58**。 逆に十進数を 5 進法に直すには **5 で割ってあまりを下から並べる**。 【? 理解確認】 5 進法で「1 3 2」と書いてある。十進数では? 32 ✓ 42 132 【正解】 正解! 1×25 + 3×5 + 2×1 = 25 + 15 + 2 = 42。 【先生】 次は **空きビン交換**。 「ジュースの空きビン 3 本でジュース 1 本ともらえる。お金を出してジュースを 10 本買った。ぜんぶで何本飲める?」 → 10 本買って飲む → 空きビン 10。 → 10÷3 = 3 本もらえる、あまり空きビン 1。 → もらった 3 本も飲む → 空きビン 1+3 = 4。 → 4÷3 = 1 本もらえる、あまり 1。 → もらった 1 本飲む → 空きビン 1+1 = 2。もう交換できない。 **合計 = 10 + 3 + 1 = 14 本**。 【先生】 空きビン交換のコツ: ・**「もらったぶんで出る空きビン」を必ず次回に持ち越す** ・「1 回交換して終わり」ではなく **交換できなくなるまでくり返す** ・あまりも持ち越して次の交換に足す 【? 理解確認】 空きビン 4 本でジュース 1 本もらえる。20 本買って飲み始める。全部で何本飲める? 25 本 ✓ 26 本 27 本 【正解】 正解! 20 → (5 本もらう, あまり 0) → 5 → (1 本もらう, あまり 1) → 1+1 = 2 本 (交換不可)。合計 20+5+1 = 26 本。 【先生】 次は **倍数を順に並べる** 型。 「3 または 5 の倍数を小さい順に並べる: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, ...」 → 1〜15 までの中に「3 か 5 の倍数」は **7 個** (3, 5, 6, 9, 10, 12, 15)。 → 15 = 最小公倍数(3, 5) なので、これが **1 周期**。 → N 番目を求めるときは「15 までで 7 個」を 1 周期として扱う。 【先生】 **スキップ問題** (例: 4 を含む数を飛ばす番号) もあるよ。 「病院のベッド番号は 4 を含む数 (4, 14, 24, 40, 41, ...) をスキップする。1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...」 → 1 〜 100 までで「4 を含む数」は 19 個 (4, 14, 24, ..., 94 と 40〜49) → 100 までで使われる番号は 100 − 19 = **81 個**。 → 100 番目のベッドは 100 + (4 を含む数の個数) で逆算する。 【? 理解確認】 「3 または 5 の倍数」を順に並べる: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20 … 10 番目の数は? 20 ✓ 21 24 【正解】 正解! 15 までで 7 個 (3,5,6,9,10,12,15)。続きは 18, 20, 21, ... → 8 番目=18, 9 番目=20, 10 番目=**21**。 【先生】 **重複に注意**! 「3 または 5 の倍数」を数えるとき、**15 の倍数 (= 3 と 5 両方の倍数)** を 2 回数えないこと。 公式: (3 の倍数の個数) + (5 の倍数の個数) − **(15 の倍数の個数)** これは集合の包含排除 (第 3 章の平均と集合と同じ考え方)。 【先生】 落とし穴: ・N 進法で **位の重み (1, N, N²)** を覚えず、桁を読み違える ・空きビン交換で **1 回だけ** で止めて反復を忘れる ・倍数を並べるときに **最小公倍数 を重複カウント** ・スキップ番号で「97 番のベッド = 97 個目」と混同 (本当は 97 + スキップ数) 規則性の応用は **どの「周期」「あまり」を使うか** を見抜くゲーム。 ・N 進法 → **「N 個たまったら 1 つ上の位」と読み替える** ・空きビン交換 → **交換できなくなるまでくり返す** (あまりも持ち越し) ・倍数 → **最小公倍数 を重複させない (引く)** ・スキップ → **スキップ数を別に数えて引く / 足す**