【先生】 今日は図形の規則性。マッチ棒や碁石で正三角形や正方形を作って「N 番目は何個 (本)?」みたいな問題。 コツはたった 1 つ: **「1 つ増やすときに、何が追加されたか」を見つける**。 【先生】 例: マッチ棒で正三角形を横にくっつけて並べていく。 1 個目: 3 本 2 個目: 5 本 (+2) 3 個目: 7 本 (+2) 4 個目: 9 本 (+2) → **最初の 3 本 + 2 本 × (N−1)** が N 個目の本数。 等差数列の N 番目の公式と同じ形! 【? 理解確認】 マッチ棒で正方形を横に並べる。1 個目 4 本、2 個目 7 本、3 個目 10 本 ... 10 個目は何本? 30 本 ✓ 31 本 34 本 【正解】 正解! 公差 3、10 個目 = 4 + 3×(10−1) = 4 + 27 = 31 本。 【先生】 次は **段数型**。 碁石で正三角形を積んでいく: 1 段目: 1 個 2 段目: 1+2 = 3 個 3 段目: 1+2+3 = 6 個 4 段目: 1+2+3+4 = 10 個 → **N 段の合計 = 1+2+...+N = N(N+1)÷2** (三角数)。 【先生】 もうひとつの定番、**奇数和 = 平方数**。 碁石を正方形に積む: 1, 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, ... → N 段目までの合計 = **N²**。 **1, 4, 9, 16, 25 ...** これは平方数。覚えておくと一瞬で解ける! 【? 理解確認】 碁石で 1 段目 1 個、2 段目 3 個、3 段目 5 個 ... と「奇数個ずつ」並べる。10 段目までの **合計** は? 55 個 ✓ 100 個 81 個 【正解】 正解! 奇数の和は平方数。10 段目までの合計 = 10² = 100 個。 【先生】 **正方形の外周** (碁石を正方形のまわりにグルッと並べる) も頻出。 「碁石を正方形のまわりに 36 個ぴったり並べた。1 辺は何個?」 公式: **外周の個数 = 4 × (1 辺 − 1)** (角を重複しないため) → 36 = 4 × (1 辺 − 1) → 1 辺 − 1 = 9 → **1 辺 = 10 個**。 「36 ÷ 4 = 9」と書くと **角を重複カウント** していて間違い。 【? 理解確認】 碁石を正方形のまわりに 28 個ぴったり並べた。1 辺は何個? 7 個 ✓ 8 個 9 個 【正解】 正解! 外周 = 4×(1 辺 − 1) → 28 = 4×7 → 1 辺 = 8 個。 【先生】 落とし穴: ・「× N」と「× (N−1)」 (マッチ棒型の常連ミス) ・外周の個数を **角を重複** して数える (÷4 だけで止める) ・三角数 1, 3, 6, 10, 15 と 平方数 1, 4, 9, 16, 25 を **取り違える** ・段増加が「+1 ずつ」(三角数) なのか「+2 ずつ」(奇数 → 平方数) なのかを 1, 2 段だけ見て決めつける 図形の規則性の見抜き方: ・1 段ごとに **+1 ずつ増える** → 三角数 (N(N+1)÷2) ・1 段ごとに **+2 ずつ増える (奇数)** → 平方数 (N²) ・正方形の外周 → **4 × (1 辺 − 1)** **1, 4, 9, 16, 25, 36** はすぐに「平方数!」と気づけるようにしよう。