【先生】 今日は数列の話。 「2, 5, 8, 11, 14, ...」みたいに、**同じ数ずつ増える** やつを **等差数列** っていう。 この章は山ほど公式が出てくるけど、**まず覚えるのはたった 2 本**。 【先生】 覚える公式: **① N 番目の数 = はじめの数 + 公差 × (N − 1)** **② 等差の和 = (はじめ + 終わり) × 個数 ÷ 2** この 2 本で 8 割の数列問題が解ける。 【先生】 ①の意味: 1 番目から N 番目までで、何回ジャンプしたか? 1→2 番目で 1 回、1→3 番目で 2 回 ... 1→N 番目で **N − 1 回** ジャンプ。 だから N 番目 = はじめ + 公差 × (N − 1)。 **「× N」じゃなくて「× (N − 1)」** ここがハマりポイント。 【? 理解確認】 「3, 7, 11, 15, ...」の 20 番目は? ✓ 79 83 80 【正解】 正解! 公差 4、20 番目 = 3 + 4×(20−1) = 3 + 76 = 79。 【先生】 ②の和の公式は **超強力**。 「1 から 100 まで全部足すといくつ?」 → (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 101 × 50 = **5050**。 ガウス少年の有名な計算ね。**(両はしを足して個数倍、2 で割る)**。 【先生】 なぜ「両はし × 個数 ÷ 2」? 1+2+...+99+100 と、100+99+...+2+1 を **上下で足す** と、どの列も 101。 全部で 100 列だから合計 101×100。これは元の和の **2 倍** だから、最後に 2 で割る。 シンプルだけどめちゃ便利。 【? 理解確認】 「2, 5, 8, ..., 50」までの和は? ✓ 442 459 468 【正解】 正解! 個数 = (50−2)÷3 + 1 = 17、和 = (2+50)×17÷2 = 52×17÷2 = 442。 【先生】 次は **群数列**。 「1 | 1, 2 | 1, 2, 3 | 1, 2, 3, 4 | ...」みたいに **組分け** されてる数列。 コツは「N 組までに **何個** あるか」を出すこと。 → 1 組目 1 個、2 組目 2 個、... → N 組目までで 1+2+...+N = **N(N+1)÷2** 個。 【先生】 例: 「全体で 30 番目の数」は何組の何番目? 1+2+...+7 = 28、1+2+...+8 = 36。 → 30 は 28 を越えて 36 までの間 → **8 組目** に入ってる。 → 8 組目の中で 30 − 28 = **2 番目**。 → 8 組目は 1, 2, 3, 4, ..., 8 なので 2 番目の数は **2**。 【? 理解確認】 「1 | 1, 2 | 1, 2, 3 | ...」の数列で、全体の 15 番目の数は? 3 4 ✓ 5 【正解】 正解! 1+2+3+4 = 10、+5 = 15 → 5 組目の 5 番目 = 5。 【先生】 おまけ: **階差数列**。 「1, 2, 4, 7, 11, 16, ...」 → 差を取ると 1, 2, 3, 4, 5 (等差!)。 → 元の数列の N 番目 = 1 + (1+2+...+(N−1)) = 1 + (N−1)N÷2。 **差が等差なら、和の公式で再構成できる**。 【先生】 落とし穴: ・N 番目で **(N−1)** を **N** にする (一番多いミス) ・群数列で「N 組までの個数」と「N 番目の値」を混同 ・等差の和で **個数を間違える** (個数 = (末−初)÷公差+1 を忘れる) 数列の鉄則: **① N 番目 = はじめ + 公差 × (N−1)** **② 和 = (両はし) × 個数 ÷ 2** 群数列は「**N 組までの個数 = N(N+1)÷2**」で位置を特定。