【先生】 今日のテーマは『数列の和』。 **公式を覚えると** 100 個や 1000 個の数字の和も一瞬で計算できる。 中受で頻出の和の公式集。 【先生】 **基本公式 1: 1 から n までの和**: **1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1) ÷ 2** **証明** (ガウスの天才小学生エピソード): ・1 + 2 + 3 + ... + 100 を求めるとき、 ・1 + 100 = 101、2 + 99 = 101、3 + 98 = 101 ... ・101 が 50 ペア = 101 × 50 = 5050 ・**和 = (初 + 末) × 項数 ÷ 2** **応用**: ・1〜10 = 55、1〜20 = 210、1〜30 = 465、1〜100 = 5050、1〜1000 = 500500 【? 理解確認】 1 + 2 + 3 + ... + 50 の和は? 1225 ✓ 1275 2500 【正解】 正解! 50×51÷2 = 1275。 【先生】 **基本公式 2: 奇数の和**: **1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n²** **例**: ・1+3 = 4 = 2² ・1+3+5 = 9 = 3² ・1+3+5+7 = 16 = 4² ・**1〜99 までの奇数 (50 個)** の和 = 50² = 2500 **意味**: **n 個の奇数の和は n²**。 【先生】 **基本公式 3: 偶数の和**: **2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)** **理由**: 2(1+2+3+...+n) = 2 × n(n+1)/2 = n(n+1) **例**: ・2+4 = 6 = 2×3 ・2+4+6 = 12 = 3×4 ・2+4+6+8+10 = 30 = 5×6 【? 理解確認】 2 + 4 + 6 + ... + 40 の和は? ✓ 420 440 820 【正解】 正解! 偶数 40 までは n=20。n(n+1) = 20×21 = 420。 【先生】 **応用 1: 等差数列の一般和**: **初項 a、公差 d、項数 n の等差数列の和**: **和 = n × (2a + (n−1)d) ÷ 2 = (初 + 末) × 項数 ÷ 2** **例**: 5, 8, 11, 14, ... の 20 項の和 ・初項 5、公差 3、項数 20 ・末項 = 5 + 3×19 = 62 ・**和 = (5+62)×20÷2 = 67×10 = 670** 【先生】 **応用 2: 平方数の和**: **1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1) ÷ 6** **例**: ・1²+2²+3² = 1+4+9 = 14 = 3×4×7÷6 = 14 ✓ ・1²+2²+...+10² = 10×11×21÷6 = 385 **実用**: 中受では稀だが、覚えると階差の応用で使える。 【先生】 **応用 3: 立方数の和**: **1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (n(n+1)/2)² = (1+2+3+...+n)²** **例**: ・1³+2³+3³ = 1+8+27 = 36 = 6² = (1+2+3)² ・1³+2³+3³+4³ = 100 = 10² = (1+2+3+4)² **美しい関係**: 1〜n までの自然数の和の **2 乗** が 1〜n の **立方の和**。 【先生】 **典型問題 1: 範囲指定** 『51 から 100 までの和は?』 **解き方** (差法): ・1〜100 の和 = 5050 ・1〜50 の和 = 1275 ・51〜100 の和 = 5050 − 1275 = **3775** **別解** (直接): ・初項 51、末項 100、項数 50 ・(51+100)×50÷2 = 151×25 = **3775** 【先生】 **典型問題 2: ある条件を満たす数の和** 『1 から 100 までの数のうち、3 の倍数の和は?』 **解き方**: ・3, 6, 9, ..., 99 (3 の倍数) ・3 × (1+2+3+...+33) = 3 × 33×34÷2 = **1683** ・3 の倍数で 100 以下は 33 個 (100÷3 = 33.3) ・最大は 99 ・(3+99)×33÷2 = 1683 (等差和公式と一致) 【? 理解確認】 1 から 50 までの数のうち、5 の倍数の和は? 255 ✓ 275 300 【正解】 正解! 5 の倍数は 5, 10, 15, ..., 50 で 10 個。和 = 5×(1+2+...+10) = 5×55 = 275。 【先生】 **典型問題 3: 階段問題 (応用)** 『階段を 1 段、3 段、5 段、... と増やしながら登る。15 回目までに登る段数の合計は?』 **解き方**: ・1, 3, 5, 7, ..., 29 (奇数 15 個) ・**和 = 15² = 225 段** **ポイント**: **n 個の奇数の和は n²** という公式が一瞬で答えを出してくれる。 【先生】 まとめ: ・1〜n の和 = n(n+1)/2 ・1〜2n-1 の奇数和 = n² ・2〜2n の偶数和 = n(n+1) ・1²〜n² の和 = n(n+1)(2n+1)/6 ・1³〜n³ の和 = (1+2+...+n)² ・k の倍数の和 = k×(1+2+...+m) 次は旅人算の更なる応用 (3 人、複雑な状況) に進もう!