【先生】 今日のテーマは『順列組合せ 応用』。 基本の順列・組合せに加えて、**同じものを含む / 円順列 / 条件付き** などの応用パターンを扱う。 【先生】 **典型問題 1: 同じものを含む順列** 『A, A, A, B, B の 5 文字を 1 列に並べる。何通り?』 **解き方**: ・全部異なれば 5! = 120 通り ・**A が 3 つ同じ** なので 3! = 6 で割る ・**B が 2 つ同じ** なので 2! = 2 で割る ・120 ÷ 6 ÷ 2 = **10 通り** **公式**: 全 N 個、同じものが a 個、b 個、c 個 ... 並べ方 = **N! ÷ a! ÷ b! ÷ c! ...** 【? 理解確認】 1, 1, 2, 2, 2, 3 の 6 文字を並べる。何通り? ✓ 60 通り 120 通り 720 通り 【正解】 正解! 6! ÷ 2! ÷ 3! = 720 ÷ 2 ÷ 6 = 60。 【先生】 **典型問題 2: 円順列** 『5 人が **円卓** に座る座り方。何通り?』 **解き方**: ・直線なら 5! = 120 通り ・円卓では **回転しても同じ並び** とみなす (5 つの回転を区別しない) ・円順列 = (n − 1)! = **4! = 24 通り** **理由**: 1 人を固定して残り 4 人の並べ方 = 4! = 24。 **公式**: n 人の円順列 = **(n − 1)!** 【? 理解確認】 6 人が円卓に座る座り方は? ✓ 120 通り 720 通り 5040 通り 【正解】 正解! (6−1)! = 5! = 120 通り。 【先生】 **典型問題 3: 隣り合う条件** 『A, B, C, D, E の 5 人が並ぶ。A と B が **必ず隣り合う** ように並べると?』 **解き方**: ・**A と B を 1 つのかたまり** とみなす ・**かたまりを 1 人と数え** = 4 個のものを並べる = 4! ・かたまりの中で A−B の **順序** = 2 通り (AB か BA) ・**合計 = 4! × 2 = 24 × 2 = 48 通り** **ポイント**: **隣り合わせ = 1 個にして、内部の順序を掛ける**。 【先生】 **典型問題 4: 隣り合わない条件** 『5 人が並ぶ。A と B は **絶対に隣り合わない** ように並べると?』 **解き方** (引き算法): ・全体の並べ方 = 5! = 120 通り ・A と B が隣り合う = 上の問題 = 48 通り ・**隣り合わない** = 120 − 48 = **72 通り** **ポイント**: 『〜でない』条件は **全体から〜である場合を引く** のが速い。 【? 理解確認】 A, B, C, D の 4 人を 1 列に並べる。A と D が隣り合う場合の数は? 6 通り ✓ 12 通り 24 通り 【正解】 正解! A-D をかたまり = 3 個並べる 3! = 6、内部 2 通り → 6×2 = 12 通り。 【先生】 **典型問題 5: 選んでから並べる (応用)** 『10 人の中から 4 人選んでリレーチームを作る。1 〜 4 番手の順番も決める。何通り?』 **解き方**: ・**順序あり** なので順列 (P) ・1 番手: 10 通り、2 番手: 9、3 番手: 8、4 番手: 7 ・**10 × 9 × 8 × 7 = 5040 通り** **もし順番関係なし** (= 単に 4 人選ぶ) なら: ・組合せ = 5040 ÷ 4! = 5040 ÷ 24 = **210 通り** 【先生】 **典型問題 6: 区別あり/なしの応用** 『色違いの 5 個のボールから 3 個取り出す。何通り?』 **区別ある場合 (色違い)**: ・組合せ = 5 × 4 × 3 ÷ 3! = 60 ÷ 6 = **10 通り** **もし同じ色 (区別なし) なら**: ・取り出す = 何個取るか だけが意味あり ・3 個取る = **1 通り** (全部同じ色なので) **問題文に『区別する』『区別しない』が書いてあるはず**。読み落とさない。 【先生】 **つまずきポイント**: ・**順列と組合せの混同** (順序ある/なし) ・**円順列で (n − 1)! と気づかない** ・**同じものの個数で割り忘れ** ・**隣り合わない条件** で引き算法を使わない **チェック法**: 小さい数 (3-4 個) で **実際に書き出して** 検算。 【先生】 まとめ: ・同じものを含む順列 = N! ÷ (a! × b! × ...) ・円順列 = (n − 1)! ・隣り合う = かたまり × 内部順序 ・隣り合わない = 全体 − 隣り合う ・選ぶ + 並べる = 順列、選ぶだけ = 組合せ 次は規則性応用 (フィボナッチ等) に進もう!