【先生】 今日のテーマは『規則性応用』。 **フィボナッチ・パスカル・階差** など、前回より複雑な規則を見抜く技を身につける。 中堅校以上で頻出のパターン。 【先生】 **フィボナッチ数列**: **1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...** **規則**: **前 2 つの和** が次の数。 ・1 + 1 = 2、1 + 2 = 3、2 + 3 = 5、3 + 5 = 8 ... **自然界によく出てくる**: 花びらの数、ひまわりの種、巻貝の螺旋 など。 **中受で出題されたら**: 規則を見抜いて 10 番目までは書き出して計算するのが安全。 【? 理解確認】 フィボナッチ数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... の 10 番目は? 34 ✓ 55 89 【正解】 正解! 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 の 10 番目 = 55。 【先生】 **パスカルの三角形**: ``` 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ``` **規則**: 各数 = **左上 + 右上** の和。 ・両端は常に 1 ・対称的 (左右が同じ) **応用**: 各行の数字を **足すと 2^n** (1, 2, 4, 8, 16 ...)。 **組合せの数** とも一致 (n 行 m 番目 = nCm)。 【先生】 **階差数列**: **1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...** (三角数) **規則**: そのまま見ると分かりにくいが、**隣同士の差**を取ると: ・3−1 = 2, 6−3 = 3, 10−6 = 4, 15−10 = 5, ... ・**差が 2, 3, 4, 5 と等差数列** これが **階差数列** = 元の数列の差が規則的になっている。 **n 番目の公式**: 三角数の n 番目 = **n × (n+1) ÷ 2** ・例: 5 番目 = 5 × 6 ÷ 2 = 15 ✓ 【? 理解確認】 三角数 1, 3, 6, 10, 15, ... の 8 番目は? 28 ✓ 36 45 【正解】 正解! n=8 → 8×9÷2 = 36。 【先生】 **典型問題 1: ひし形数 (六角形数)** 『正方形の中に石を並べる』タイプ: ・**正方形数**: 1, 4, 9, 16, 25, ... = n² ・**長方形数 (積)**: 2, 6, 12, 20, 30, ... = n(n+1) ・**五角数**: 1, 5, 12, 22, 35, ... = n(3n−1)/2 ・**六角数**: 1, 6, 15, 28, 45, ... = n(2n−1) 中受では正方形数と長方形数まで知っていれば OK。 **規則を見つける** ことの方が重要。 【先生】 **典型問題 2: 図形数列** 『正三角形を 1 段、2 段、3 段... と積む。n 段の時の小さな三角形の数は?』 **解き方**: ・1 段: 1 個 (1²) ・2 段: 4 個 (2²) ・3 段: 9 個 (3²) ・**n 段 = n²** **規則**: 段数の **2 乗**。 確認: 4 段 = 16 個、5 段 = 25 個。 【先生】 **典型問題 3: 数列の和** **等差数列の和**: **和 = (初項 + 末項) × 項数 ÷ 2** ・例: 1+2+3+...+100 = (1+100)×100÷2 = **5050** ・例: 2+4+6+...+20 = (2+20)×10÷2 = **110** **等比数列の和** (中受では複雑なものは出ない): ・1+2+4+8+16+...+512 = 1023 (= 2^10 − 1) ・公式: 1+r+r²+...+r^(n−1) = (r^n − 1)/(r − 1) 【? 理解確認】 1+3+5+7+9+...+99 の和は (奇数の和)? ✓ 2500 5000 9900 【正解】 正解! 1 から 99 までの奇数は 50 個。和 = (1+99)×50÷2 = 100×50÷2 = 2500。 【先生】 **典型問題 4: 規則性を見つけるコツ** 1. **差を 1-2 個計算** (等差?) 2. **差の差 (階差)** を見る (二次関数的?) 3. **比を計算** (等比?) 4. **前 2 つの和** を試す (フィボナッチ?) 5. **n² や n(n+1)/2** に当てはまるか確認 **経験則**: ・差が増えていく (1, 4, 9, 16) → **n²** ・差が等しい (2, 5, 8, 11) → 等差 ・前 2 つの和 → フィボナッチ ・行ごとに左右の和 → パスカル 【先生】 **応用: 規則性 + 周期 + 合計** 『1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, ... の最初の 100 個の和は?』 **解き方**: ・周期 4 (1+2+3+4 = 10) ・100 ÷ 4 = 25 周 (余りなし) ・**和 = 10 × 25 = 250** **応用**: 周期と数列の和を組み合わせれば、100 個 / 1000 個 / 任意の N 個まで一瞬で計算できる。 【先生】 まとめ: ・フィボナッチ: 前 2 つの和 → 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 ・パスカル: 左上 + 右上、対称、各行の和 = 2^n ・階差数列: 差が規則的 (三角数 n(n+1)/2) ・図形数: 正方形 n²、長方形 n(n+1) ・等差和 = (初+末)×項数÷2、奇数和 = n² 次は数列の和の応用に進もう!