【先生】 今日のテーマは『平均算 応用』。 **2 つ以上のグループ** の平均をまとめるとき、単純な平均では正しくならない。 **合計 → 個数 → 平均** の順で計算する。 【先生】 **典型問題 1: グループ平均** 『男子 20 人の平均点 75、女子 15 人の平均点 80。クラス全体の平均は?』 **間違い**: (75 + 80) ÷ 2 = 77.5 ← **NG** **正しい解き方**: ・男子の合計 = 20 × 75 = 1500 ・女子の合計 = 15 × 80 = 1200 ・**全体合計** = 1500 + 1200 = 2700 ・**全体人数** = 20 + 15 = 35 ・**全体平均** = 2700 ÷ 35 = **約 77.1 点** **人数が違うので単純平均は間違い**。男子の方が人数が多いので、男子の点に近づく。 【? 理解確認】 A 組 10 人の平均 60、B 組 30 人の平均 80。全体の平均は? 70 72 ✓ 75 【正解】 正解! A 合計 600、B 合計 2400、全体 3000。3000÷40 = 75。B の方が 3 倍多いので、80 寄りになる。 【先生】 **典型問題 2: てんびん法で速く解く** 上の問題をてんびん法で: ・男子 20 人 (75 点) と女子 15 人 (80 点)、人数比 = 20:15 = **4:3** ・点数の差 = 80 − 75 = 5 ・**人数の比は逆比** で支点からの距離 ・距離の比 = 3:4 (逆比) ・5 を 3:4 で分ける → 男子側 = 5×3/7 ≈ 2.14、女子側 = 5×4/7 ≈ 2.86 ・全体平均 = 75 + 約 2.14 = **約 77.1 点** **ポイント**: 人数が多いグループの平均に **引き寄せられる**。 【先生】 **典型問題 3: 1 人入れ替わる** 『クラスの平均点が 70 点。1 人 (60 点) が転校して、別の 1 人 (90 点) が転入したら平均はいくつ?』 **条件**: クラス人数 = 30 人 **解き方**: ・元の合計 = 30 × 70 = 2100 ・−60 +90 → 新合計 = 2100 + 30 = 2130 ・人数変わらず 30 人 ・新平均 = 2130 ÷ 30 = **71 点** **1 人の入れ替わりで平均が** (90−60)÷30 = 1 点上がる。**人数で割る** ことを忘れない。 【? 理解確認】 20 人の平均 80。1 人 (50 点) が抜けたら、残りの平均は? 81 点 ✓ 82 点 82.6 点 【正解】 正解! 元合計 1600、抜いた後 1550、19 人で割ると約 81.6 → 約 82。(計算: 1550/19 ≈ 81.58)。整数だと 82 が近い。 【先生】 **典型問題 4: 平均値の変化から人数を逆算** 『あるテストで平均 65 点だった。100 点の答案が 1 枚追加されたら平均が 66 点になった。元のクラス人数は?』 **解き方**: ・元の人数を x 人とする ・元の合計 = 65x、新合計 = 65x + 100 ・新人数 = x + 1、新平均 = (65x + 100) ÷ (x + 1) = 66 ・65x + 100 = 66(x + 1) = 66x + 66 ・34 = x → **元の人数 = 34 人** 【先生】 **典型問題 5: 加重平均 (難)** 『国語 40 点 (50% の比重)、算数 90 点 (50%) → 平均 65 点 (単純)』 **比重が違うとき**: 『国語 (1 倍)、算数 (2 倍) の重要度。点数: 70 / 85。加重平均は?』 **解き方**: ・国語 70 × 1 = 70 ・算数 85 × 2 = 170 ・**比重の合計** = 1 + 2 = 3 ・加重平均 = (70 + 170) ÷ 3 = **80 点** **比重を掛けて足して、比重の合計で割る**。 【先生】 **つまずきポイント**: ・**グループの単純平均** を取ってしまう (人数が違うのに) ・**合計をまず計算** するクセを忘れる ・**加重平均で比重を掛け忘れる** **チェック法**: 答えが各グループの最大・最小の **間に収まる** か確認。例: 男子 75・女子 80 → 全体平均は 75〜80 の間 (77.1 は OK)。 【先生】 まとめ: ・グループ平均 = (合計1 + 合計2) ÷ (人数1 + 人数2) ・人数の多い方に引っ張られる (てんびん法も同じ) ・1 人入れ替わり = 平均変動 × 人数 = 点数変化 ・加重平均 = (重み × 点数の和) ÷ 重みの和 次は順列・組合せの応用に進もう!