【先生】 今日のテーマは『**場合の数応用**』。 **重複順列・円順列・同じものを含む順列** など、より高度な並べ方の問題を解く。 【先生】 **基本確認**: **順列 (並べ方)**: ・n 個の異なるものを並べる: **n!** = n × (n-1) × ... × 1 ・例: 4 つを並べる = 4! = 24 通り **組合せ (選び方)**: ・n 個から r 個選ぶ: **nCr** = n!/(r! × (n-r)!) ・例: 5 個から 3 個選ぶ = 5C3 = 10 通り 【先生】 **重複順列**: **同じものを何度も使ってよい並べ方**。 **例**: 0,1,2 の 3 つの数字を使って 3 桁の数を作る (重複可) ・百の位: 1,2 の 2 通り (0 は先頭に来ない) ・十の位: 3 通り ・一の位: 3 通り ・**全部で 2 × 3 × 3 = 18 通り** **公式**: n 種類から r 個並べる (重複可) = **n^r** **例**: 0-9 の数字で 4 桁の暗証番号 = **10^4 = 10000 通り** 【先生】 **典型問題 1: 旗の塗り分け** 『4 つの色 (赤・青・黄・緑) を 3 つの旗に塗り分ける (重複可)』 **解き方**: ・各旗に 4 通り → 4 × 4 × 4 = **64 通り** **重複なし**: ・1 つ目 = 4 通り、2 つ目 = 3 通り (残り 3 色)、3 つ目 = 2 通り ・4 × 3 × 2 = **24 通り** **ポイント**: 『**重複可**』 か『**重複なし**』 で計算が変わる。 【? 理解確認】 5 つの色から 3 つの旗を塗り分ける (重複なし)。何通り? 10 通り ✓ 60 通り 125 通り 【正解】 正解! 5 × 4 × 3 = 60 通り。 【先生】 **円順列**: **円形に並べる並べ方**。 **特徴**: 円形だと **回転しても同じ並びは 1 つ** とみなす。 **公式**: n 人の円順列 = **(n-1)!** **例**: 5 人を円卓に座らせる ・通常の順列: 5! = 120 ・円順列: (5-1)! = 4! = **24 通り** **理由**: 5 人それぞれを基準点にすると同じ並びになるため、120/5 = 24。 【先生】 **同じものを含む順列**: **重複を取り除いた並べ方**。 **例**: A, A, B, B, C の 5 文字を並べる ・全部違うと考えると 5! = 120 通り ・A が 2 個同じ → 2! で割る ・B が 2 個同じ → 2! で割る ・**5! / (2! × 2!) = 120 / 4 = 30 通り** **公式**: 同じものを含む順列 = **n! / (a! × b! × c! × ...)** (a, b, c, ... は同じものの個数) 【? 理解確認】 『あいうえお』 の 5 文字を並べると何通り? 5 通り 25 通り ✓ 120 通り 【正解】 正解! 5! = 5×4×3×2×1 = 120 通り。 【先生】 **典型問題 2: 同じ文字を含む並べ替え** 『『MISSISSIPPI』 (11 文字) の並べ方は何通り?』 **文字の数を数える**: ・M = 1、I = 4、S = 4、P = 2 (合計 11) **計算**: ・11! / (1! × 4! × 4! × 2!) ・= 39916800 / (1 × 24 × 24 × 2) ・= 39916800 / 1152 ・= **34650 通り** **コツ**: 大きな数になるので電卓 OK の問題が多い。 【先生】 **典型問題 3: 隣り合う・離れる** **男 3 人、女 2 人が一列に並ぶ**: **①女 2 人が隣り合う**: ・女 2 人を 1 セットと考える: 4 つを並べる = 4! ・女の中での並び方 = 2! ・**4! × 2! = 48 通り** **②女 2 人が隣り合わない**: ・全体 5! = 120 通り ・隣り合う場合 48 を引く ・**120 − 48 = 72 通り** 【先生】 **典型問題 4: 道順問題** 『**東に 3、北に 2** マス進む格子状の道。最短経路は何通り?』 **解き方**: ・全部で 5 マス進む (右 3、上 2) ・**同じものを含む順列**: 5! / (3! × 2!) = 120 / 12 = **10 通り** **または組合せで**: ・5 マスから右 3 マスを選ぶ = 5C3 = 10 通り **ポイント**: 道順問題は **同じものを含む順列** か **組合せ**。 【先生】 **典型問題 5: 樹形図で確認** **樹形図** = 場合の数を視覚化するツール。 **例**: コインを 3 回投げる時の表裏の組合せ ``` 1 回目 2 回目 3 回目 H ───→ H ───→ H │ │ └→ T │ └─→ T ───→ H │ └→ T └→ T ───→ H ───→ H │ └→ T └─→ T ───→ H └→ T ``` **全部で 2 × 2 × 2 = 8 通り**。 【先生】 **確率の入り口**: **確率 = ある場合の数 / 全部の場合の数** **例**: サイコロを 1 回振る ・全部の場合 = 6 通り ・偶数が出る場合 = 3 通り (2, 4, 6) ・**偶数が出る確率 = 3/6 = 1/2** **例**: コインを 2 回投げる ・全部の場合 = 4 通り (HH, HT, TH, TT) ・2 回とも表 (HH) の確率 = 1/4 【先生】 まとめ: ・順列 n! 、組合せ nCr ・重複順列 = n^r (重複あり) ・円順列 = (n-1)! ・同じものを含む順列 = n!/(a!×b!×...) ・隣り合う = 1 セットとして計算 × 内側の並び ・道順 = 同じものを含む順列または組合せ ・確率 = ある場合 / 全部 次は食塩水応用に進もう!