【先生】 今日のテーマは『**比例配分応用**』。 **複数の比** を扱う問題、**連比** を作る方法、**段階的な配分** などの応用問題を解けるようにする。 【先生】 **比例配分の基本**: **A : B = a : b に分ける** **公式**: ・A = 全体 × a/(a+b) ・B = 全体 × b/(a+b) **例**: 600 円を 2:3 に分ける ・A = 600 × 2/5 = 240 円 ・B = 600 × 3/5 = 360 円 ・確認: 240 + 360 = 600 ✓ 【先生】 **3 つの数の比例配分**: **A : B : C = a : b : c に分ける** ・A = 全体 × a/(a+b+c) ・B = 全体 × b/(a+b+c) ・C = 全体 × c/(a+b+c) **例**: 1200 円を 2:3:5 に分ける ・合計 = 2+3+5 = 10 ・A = 1200 × 2/10 = 240 円 ・B = 1200 × 3/10 = 360 円 ・C = 1200 × 5/10 = 600 円 【? 理解確認】 300 個のあめを A:B:C = 1:2:3 に分けると、C は何個? 50 個 100 個 ✓ 150 個 【正解】 正解! 合計比 6、C は 3。300 × (3/6) = 150 個。 【先生】 **連比 (れんぴ) の作り方**: **複数の比を 1 つにまとめる**。 **例**: ・A : B = 2 : 3 ・B : C = 4 : 5 ・**A : B : C** を求める **解き方**: ・B を **共通の数字** に揃える (最小公倍数) ・B = 3 と B = 4 → 最小公倍数 12 ・A : B = 2 : 3 → 8 : 12 (×4) ・B : C = 4 : 5 → 12 : 15 (×3) ・**A : B : C = 8 : 12 : 15** 【先生】 **典型問題 1: 連比の応用** 『A : B = 3 : 4、B : C = 5 : 6 のとき A : B : C は?』 **手順**: ・B を揃える: 4 と 5 の最小公倍数 = 20 ・A : B = 3 : 4 → **15 : 20** (×5) ・B : C = 5 : 6 → **20 : 24** (×4) ・**A : B : C = 15 : 20 : 24** **ポイント**: 共通の数を **最小公倍数** に揃える。 【先生】 **典型問題 2: 連比を使った配分** 『A : B = 2 : 3、B : C = 4 : 5。合計 1230 円のとき、それぞれいくら?』 **手順**: ・A : B : C = 8 : 12 : 15 (連比) ・合計比 = 8+12+15 = 35 ・A = 1230 × 8/35 = **281.14...** ← 割り切れない場合は計算間違いか問題設定に注意 **割り切れる例**: 合計 350 円のとき ・A = 350 × 8/35 = 80 円 ・B = 350 × 12/35 = 120 円 ・C = 350 × 15/35 = 150 円 【? 理解確認】 A : B = 1 : 2、B : C = 3 : 4 のとき、A : B : C は? 1 : 2 : 4 ✓ 3 : 6 : 8 1 : 3 : 4 【正解】 正解! B を 6 に揃える。A:B = 3:6 (×3)、B:C = 6:8 (×2) → 3:6:8。 【先生】 **典型問題 3: 段階的配分** 『500 円を A、B、C で分ける。 ・まず A : (B+C) = 2 : 3 で分ける ・次に B : C = 1 : 2 で分ける』 **解き方**: ・段階 1: A = 500 × 2/5 = **200 円** ・B+C = 500 × 3/5 = **300 円** ・段階 2: B = 300 × 1/3 = **100 円** ・C = 300 × 2/3 = **200 円** **確認**: 200 + 100 + 200 = 500 ✓ **ポイント**: **2 段階の配分** を順番に処理。 【先生】 **典型問題 4: 比の差を使った問題** 『A と B の所持金の比が 5:3。A が B より 60 円多い時、A はいくら?』 **解き方**: ・**比の差** = 5−3 = 2 ・**金額の差** = 60 円 ・**比 1 = 60/2 = 30 円** ・A = 5 × 30 = **150 円** ・B = 3 × 30 = **90 円** **確認**: 150 − 90 = 60 ✓ 【先生】 **応用: 比の変化** 『A の所持金が B の 2 倍。A が B に 100 円あげると、A : B = 3 : 2 になった。最初の A は?』 **解き方**: ・最初: A = 2x、B = x (合計 3x) ・後: A = 2x − 100、B = x + 100 ・(2x − 100) : (x + 100) = 3 : 2 ・2(2x − 100) = 3(x + 100) ・4x − 200 = 3x + 300 ・**x = 500** ・最初の A = 2 × 500 = **1000 円** **確認**: A 1000 → 900、B 500 → 600。900 : 600 = 3 : 2 ✓ 【先生】 **比例配分の応用パターン**: **①面積を比例配分**: ・三角形の底辺を 2:3 に分ける → 面積も 2:3 **②時間を比例配分**: ・全体時間 1 時間を 2:3:5 に分ける → 12 分, 18 分, 30 分 **③濃度の混合**: ・食塩水 A (300g, 10%) と B (200g, 5%) を混ぜる ・全食塩量 = 30 + 10 = 40g、全水溶液 = 500g ・新濃度 = 40/500 × 100 = 8% 【先生】 まとめ: ・比例配分: A = 全体 × a/(a+b+c+...) ・連比: 共通項を最小公倍数で揃える ・段階配分: まず大きく分けて、次に細かく ・比の差を使った問題: 比 1 単位 = 差金額 / 比差 ・比の変化: 文字式で立式して解く 次は整数応用に進もう!