【先生】 今日のテーマは『**整数応用**』。 **倍数判定法**、**倍数の和の計算**、**約数の個数** など、整数の性質を使った応用問題を学ぼう。 【先生】 **倍数判定法** (頻出): **①2 の倍数**: 一の位が **偶数** (0,2,4,6,8) **②3 の倍数**: **各桁の和** が 3 の倍数 ・例: 123 → 1+2+3 = 6 → 3 の倍数 ✓ **③4 の倍数**: **下 2 桁** が 4 の倍数 ・例: 1324 → 24 ÷ 4 = 6 ✓ **④5 の倍数**: 一の位が **0 か 5** **⑤6 の倍数**: **2 と 3 の両方** の倍数 **⑥8 の倍数**: **下 3 桁** が 8 の倍数 **⑦9 の倍数**: **各桁の和** が 9 の倍数 **⑧11 の倍数**: **奇数桁と偶数桁の差** が 11 の倍数 (0 含む) 【先生】 **典型問題 1: 倍数判定** **問題**: 次のうち、9 の倍数はどれ? (a) 234、(b) 567、(c) 891、(d) 1080 **判定**: ・(a) 234 → 2+3+4 = 9 → **9 の倍数** ✓ ・(b) 567 → 5+6+7 = 18 → **9 の倍数** ✓ ・(c) 891 → 8+9+1 = 18 → **9 の倍数** ✓ ・(d) 1080 → 1+0+8+0 = 9 → **9 の倍数** ✓ **全部 9 の倍数だった**! 桁の和を使えば一瞬で分かる。 【? 理解確認】 1234 は 4 の倍数? はい ✓ いいえ 【正解】 正解! 4 の倍数判定は下 2 桁。34 ÷ 4 = 8.5 → 割り切れない → 4 の倍数ではない。 【先生】 **典型問題 2: 倍数の個数** 『1 から 100 までの整数で、3 の倍数は何個?』 **解き方**: ・100 ÷ 3 = 33 余り 1 ・つまり 3 × 33 = 99 までが 3 の倍数 ・**3 の倍数の個数 = 33 個** **5 の倍数**: ・100 ÷ 5 = 20 → **20 個** **3 または 5 の倍数 (重複なし)**: ・3 の倍数 33 + 5 の倍数 20 − **15 の倍数** (両方の倍数) ・15 の倍数 = 100 ÷ 15 = 6 (商) → 6 個 ・**3 または 5 の倍数 = 33 + 20 − 6 = 47 個** 【先生】 **典型問題 3: 倍数の和** 『1 から 100 までの 3 の倍数の和は?』 **解き方**: ・3 の倍数 = 3, 6, 9, ..., 99 ・項数 = 33 個 ・**等差数列の和** = (初項 + 末項) × 項数 / 2 ・= (3 + 99) × 33 / 2 = 102 × 33 / 2 = **1683** **ポイント**: 等差数列の和の公式を使う。 **1 から 100 までの全部の和**: ・(1 + 100) × 100 / 2 = **5050** 【? 理解確認】 1 から 50 までの全ての整数の和は? 1225 ✓ 1275 2550 【正解】 正解! (1+50) × 50 / 2 = 51 × 25 = 1275。 【先生】 **約数の個数の求め方** (重要): **手順**: ①**素因数分解** ②**各素因数の指数 + 1 をかける** **例**: 72 の約数の個数 ・72 = 2³ × 3² ・約数の個数 = (3+1) × (2+1) = 4 × 3 = **12 個** **確認**: ・約数 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 → 12 個 ✓ 【先生】 **約数の和の求め方** (発展): **手順**: ①素因数分解 ②各素数の (1 + p + p² + ... + p^n) を計算 ③それらを掛け合わせる **例**: 12 の約数の和 ・12 = 2² × 3¹ ・(1 + 2 + 4) × (1 + 3) = 7 × 4 = **28** **確認**: ・約数 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 ・和 = 1+2+3+4+6+12 = **28** ✓ 【先生】 **典型問題 4: ある桁が決まる数** 『3 桁の整数で、3 の倍数で 5 の倍数でもある数は?』 **解き方**: ・3 と 5 の **最小公倍数** = 15 → 15 の倍数を探す ・3 桁の 15 の倍数: 105, 120, 135, ..., 990 ・個数 = (990 − 105) / 15 + 1 = 885/15 + 1 = 59 + 1 = **60 個** **ポイント**: 『〜と〜の両方の倍数』 = **最小公倍数の倍数**。 【先生】 **典型問題 5: 倍数判定の応用** 『□に当てはまる数字を全て答えなさい: 5□3 が 3 の倍数になる』 **解き方**: ・各桁の和 = 5 + □ + 3 = 8 + □ ・8 + □ が 3 の倍数 = □ が 1, 4, 7 のとき ・**□ = 1, 4, 7** (3 つの値) **確認**: ・513 → 5+1+3 = 9 ✓ ・543 → 5+4+3 = 12 ✓ ・573 → 5+7+3 = 15 ✓ 【先生】 **最大公約数 (GCD) と最小公倍数 (LCM)**: **最大公約数**: 両方を割り切る最大の数 ・例: 12 と 18 の GCD = 6 **最小公倍数**: 両方の倍数になる最小の数 ・例: 12 と 18 の LCM = 36 **重要な関係**: **A × B = GCD × LCM** ・例: 12 × 18 = 216 = 6 × 36 ✓ **利用**: GCD が分かれば LCM が、LCM が分かれば GCD が計算で求まる。 【先生】 まとめ: ・倍数判定: 2 (偶)、3 (桁の和)、4 (下2桁)、9 (桁の和) ・倍数の個数: n ÷ p (小数切り捨て) ・倍数の和: 等差数列の和の公式 ・約数の個数: 素因数分解の指数+1 をかける ・約数の和: (1+p+p²+...) を掛ける ・両方の倍数 = 最小公倍数の倍数 ・A × B = GCD × LCM 次は場合の数応用に進もう!