【先生】 今日のテーマは『比と速さ』。 **比の知識を速さ問題に応用** すると、計算量が劇的に減る。 **距離 = 速さ × 時間** の関係を比で見るのがコツ。 【先生】 **核心ルール**: **距離 (D) = 速さ (V) × 時間 (T)** から: ・**距離が同じ** なら **速さと時間は逆比** 例: 速さ V₁:V₂ = 2:3 → 時間 T₁:T₂ = 3:2 ・**時間が同じ** なら **速さと距離は正比** 例: 速さ V₁:V₂ = 2:3 → 距離 D₁:D₂ = 2:3 ・**速さが同じ** なら **時間と距離は正比** 例: 時間 T₁:T₂ = 2:3 → 距離 D₁:D₂ = 2:3 【先生】 **典型問題 1: 同距離 → 速さ vs 時間** 『A 君と B 君が同じ場所から同じ場所まで歩く。A は分速 80 m、B は分速 100 m。A が 20 分かかったとき、B は何分?』 **解き方** (比で): ・速さ A:B = 80:100 = 4:5 ・距離同じ → 時間は **逆比 5:4** ・A = 20 分のとき、20 × 4/5 = **16 分** **確認** (普通の計算): ・距離 = 80 × 20 = 1600 m ・B 時間 = 1600 ÷ 100 = 16 分 ✓ 【? 理解確認】 A と B が同じ距離を移動。A は 60 m/分、B は 90 m/分。B が 12 分かかった距離を A は何分で? 8 分 16 分 ✓ 18 分 【正解】 正解! 速さ A:B = 60:90 = 2:3。時間 A:B = 3:2 (逆比)。B = 12 分 → A = 12 × 3/2 = 18 分。 【先生】 **典型問題 2: 同時間 → 速さ vs 距離** 『同じ時間に A は 60 m、B は 80 m 進む。B が 240 m 進む間に A は何 m 進む?』 **解き方**: ・速さ A:B = 60:80 = 3:4 ・同時間 → 距離も **正比 3:4** ・B 240 m なら A = 240 × 3/4 = **180 m** 【先生】 **典型問題 3: 速さ変化** 『A 地点から B 地点まで、行きは 90 m/分、帰りは 60 m/分。往復にかかった時間の比 (行き:帰り) は?』 **解き方**: ・距離一定 (片道) → 速さと時間は逆比 ・速さ 行:帰 = 90:60 = 3:2 ・時間 行:帰 = **2:3** **応用**: 全体時間が 50 分なら、行き = 50×2/5 = **20 分**、帰り = **30 分**。 【? 理解確認】 行き 100 m/分、帰り 50 m/分で同じ道を往復。行き時間:帰り時間の比は? ✓ 1:2 2:1 1:1 【正解】 正解! 速さ 100:50 = 2:1。距離一定なので時間は逆比 1:2。 【先生】 **典型問題 4: 速さ × 時間 = 距離 で連立** 『A の家から B の家まで往復。行きは 100 m/分で 20 分、帰りは速さが違って 25 分かかった。帰りの速さは?』 **解き方**: ・距離 = 100 × 20 = 2000 m ・帰り速さ = 2000 ÷ 25 = **80 m/分** **比で**: ・時間 行:帰 = 20:25 = 4:5 ・速さ 行:帰 = 5:4 (逆比) ・行 = 100 m/分 → 5 → 帰 = 100 × 4/5 = 80 m/分 ✓ 【先生】 **典型問題 5: 相対速度 + 比** 『A と B が向かい合って同時に出発、A は 100 m/分、B は 60 m/分。出会いまでに進む距離の比は?』 **解き方**: ・出会い算 = 同時間 ・同時間 → 距離は速さの正比 ・**距離 A:B = 100:60 = 5:3** **応用**: 全体距離 800 m なら、A の進む = 500 m、B = 300 m。 【先生】 **典型問題 6: 比の積分け (3 人の旅人)** 『A, B, C が同時にスタートして、A:B:C の速さ = 6:4:3。C が 600 m 進む間に、A と B はそれぞれ何 m?』 **解き方**: ・同時間 → 距離は速さの比 ・距離 A:B:C = 6:4:3 ・C の 3 = 600 → 1 = 200 ・**A = 6×200 = 1200 m、B = 4×200 = 800 m** 【先生】 **まとめ表**: ``` 条件 速さの比 時間の比 距離の比 距離一定 2:3 3:2 (逆) 同じ 時間一定 2:3 同じ 2:3 (正) 速さ一定 同じ 2:3 2:3 (正) ``` **3 つのうち何が一定か** が分かれば、残り 2 つの比は自動的に決まる。 【先生】 **つまずきポイント**: ・**距離一定なのに正比で計算** (逆比が正解) ・**3 つの関係 (D=VT) を忘れる** ・**比の数字を実数に戻し忘れる** (比 5:4 → 100:80 のような実数化) **チェック法**: 速さ × 時間 = 距離 を **数字で確認**。 【先生】 まとめ: ・距離一定: 速さと時間は逆比 ・時間一定: 速さと距離は正比 ・速さ一定: 時間と距離は正比 ・3 人以上の旅人 = 比で進む距離を分ける ・実数化で比を倍率で戻す 次は仕事算の応用 (人数変化) に進もう!