【先生】 今日のテーマは『サイコロとコイン』。 場合の数で **超頻出** のテーマ。 **全パターン数 → 条件を満たすパターンを数える** 順で解く。 【先生】 **サイコロの基本**: ・**1 個**: 6 通り (1, 2, 3, 4, 5, 6) ・**2 個**: 6 × 6 = **36 通り** ・**3 個**: 6 × 6 × 6 = **216 通り** **コインの基本**: ・**1 枚**: 2 通り (表・裏) ・**2 枚**: 4 通り ・**N 枚**: 2^N 通り **ポイント**: サイコロやコインは **区別する** (1 個目・2 個目)。 【先生】 **典型問題 1: 出目の合計** 『サイコロ 2 個振って、出目の和が 7 になる場合の数は?』 **解き方** (列挙): ・(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) の **6 通り** **ポイント**: (1,6) と (6,1) は区別する (1 個目と 2 個目を区別)。 【? 理解確認】 サイコロ 2 個で、出目の和が 5 になる場合の数は? 3 通り ✓ 4 通り 5 通り 【正解】 正解! (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) の 4 通り。 【先生】 **典型問題 2: 確率の入り口** 『サイコロ 2 個で和が 7 になる確率は?』 **確率の公式**: **確率 = (条件を満たす場合の数) ÷ (全体の場合の数)** ・全体 = 36 通り ・和 7 = 6 通り (上の問題) ・確率 = 6/36 = **1/6** 【先生】 **典型問題 3: コインの応用** 『コイン 3 枚を投げて、表が 2 枚出る場合の数は?』 **解き方** (列挙): ・全パターン = 2³ = 8 通り ・3 枚から 2 枚を選んで表 = 3C2 = 3 通り ・具体: (表表裏), (表裏表), (裏表表) **確率**: 3/8 **応用**: 4 枚で 2 枚表 → 4C2 = 6 通り。**N 枚で K 枚表** → NCK 通り。 【? 理解確認】 コイン 4 枚で、表が 3 枚出る場合の数は? 3 通り ✓ 4 通り 6 通り 【正解】 正解! 4C3 = 4 通り。(表表表裏), (表表裏表), (表裏表表), (裏表表表)。 【先生】 **典型問題 4: 樹形図でサイコロ 2 個** 『サイコロ 2 個で **積が偶数** になる場合の数は?』 **解き方** (反対から) ・全体 36 通り ・**積が奇数** = 両方とも奇数 (1, 3, 5) = 3 × 3 = 9 通り ・**積が偶数** = 36 − 9 = **27 通り** **反対から計算する** のが速い (奇数のパターンの方が少ない)。 【先生】 **典型問題 5: 出る数の差** 『サイコロ 2 個で **差が 3** になる場合の数は?』 **解き方**: ・(4,1), (5,2), (6,3), (1,4), (2,5), (3,6) → **6 通り** **注意**: 差 = |a−b|。 ・(4,1) は 4−1 = 3 (OK) ・(1,4) は |1−4| = 3 (OK、別カウント) 【先生】 **応用: 3 個のサイコロ** 『サイコロ 3 個で **和が 5** になる場合の数は?』 **解き方** (列挙): ・(1,1,3): (1,1,3), (1,3,1), (3,1,1) = 3 通り ・(1,2,2): (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1) = 3 通り ・(3,1,1): 既出 ・合計 = **6 通り** **ポイント**: 3 個になると組合せが増える。整理して数える。 【先生】 **コインの確率の応用**: 『コイン 3 枚で、少なくとも 1 枚表が出る場合の数は?』 **反対から計算**: ・全 8 通り ・**全て裏** = 1 通り (裏裏裏) ・少なくとも 1 枚表 = 8 − 1 = **7 通り** **『少なくとも〜』は反対 (全くない) を引くのが王道**。 【先生】 **典型問題 6: 順位的な出目** 『サイコロ 2 個で、1 個目 > 2 個目 となる場合の数は?』 **解き方**: ・全 36 通りから、1 個目 = 2 個目 (= 6 通り) を引くと 30 通り ・残り 30 通りで、1 個目 > 2 個目 と 1 個目 < 2 個目 が **対称** ・30 ÷ 2 = **15 通り** **ポイント**: **対称性** を使うと計算がラク。 【先生】 **つまずきポイント**: ・**個別の区別を忘れる** ((1,6) と (6,1) を 1 つに数える) ・**全パターン数を忘れる** (サイコロ 2 個なら 36 通り) ・**『少なくとも』を直接数えようとする** (反対を引くのが楽) **チェック法**: 樹形図 (or 表) で **全パターンを書き出して** 検算。ペア (1,1) (1,2) ... (6,6) の 6×6 表が便利。 【先生】 まとめ: ・サイコロ N 個 = 6^N 通り、コイン N 枚 = 2^N 通り ・出目の和・差・積 → 樹形図で書き出し ・「少なくとも」= 全体 − 反対 で計算 ・対称性を活用 (>と<は同じ数になる) ・確率 = 条件満たす数 / 全数 次は比と速さの応用に進もう!