【先生】 今日のテーマは『図形数列』。 **タイルや点で図形を作る** とき、n 番目に必要な数を **式 (公式)** で表す。 中堅校以上で頻出のパターン。 【先生】 **典型問題 1: タイル並べ (正方形)** 『1 段目: 1 個、2 段目: 4 個、3 段目: 9 個、... と正方形に並べる。 n 段目には何個?』 **解き方**: ・1, 4, 9, 16, 25, ... = **n² (平方数)** ・10 段目 = 100 個 **累計**: 1 から n 段目までの **合計** = 1² + 2² + 3² + ... + n² ・公式 = n(n+1)(2n+1) ÷ 6 【先生】 **典型問題 2: 三角形タイル** 『1 段目: 1、2 段目: 3、3 段目: 5、... 奇数で増える』 **解き方**: ・n 段目 = **2n − 1** (n 番目の奇数) ・10 段目 = 19 個 **累計**: 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = **n²** (奇数の和の公式) ・10 段までの累計 = 100 個 = 10² ← 正方形になる 【? 理解確認】 正方形タイルを 1, 4, 9, 16, 25, ... と並べる。8 段目の個数は? 56 ✓ 64 100 【正解】 正解! 8² = 64 個。 【先生】 **典型問題 3: 棒の数** 『マッチ棒で 1 段目: 4 本 (正方形 1 個)、2 段目: 7 本 (正方形 2 個)、3 段目: 10 本 (正方形 3 個)』 **解き方**: ・差を取る: 4, 7, 10, 13, 16, ... → 差は 3 ずつ ・**等差数列** で n 段目 = 4 + 3(n−1) = **3n + 1** ・10 段目 = 31 本 **累計**: (4+7+10+...+(3n+1)) は等差数列の和。 【先生】 **典型問題 4: 点を線で結ぶ** 『n 個の点があって、すべての 2 点を結ぶ線分を引く。線分の本数は?』 **解き方**: ・n 個から 2 個を選ぶ組合せ = **n × (n−1) ÷ 2** ・3 点: 3 本、4 点: 6 本、5 点: 10 本、6 点: 15 本 **公式**: n(n−1)/2 = **三角数** ・例: 10 個の点 → 10×9/2 = 45 本 【先生】 **典型問題 5: 折れ線** 『直線が n 本あるとき、最大いくつの交点ができるか?』 **解き方**: ・各 2 直線が 1 つの交点を作る → **n × (n−1) ÷ 2** = nC2 ・3 本: 3 つ、4 本: 6 つ、5 本: 10 つ **注意**: 3 本以上が 1 点で交わったら、その点は 1 つだけ数える。問題によっては別途調整。 【? 理解確認】 6 個の点があって全ての 2 点間に線を引く。線の数は? 12 本 ✓ 15 本 30 本 【正解】 正解! 6C2 = 6×5÷2 = 15 本。 【先生】 **典型問題 6: 階段状の正方形** 『階段状に正方形を積む。1 段目: 1 個、2 段目: 3 個、3 段目: 5 個』 **解き方**: ・各段の個数 = 2n − 1 (奇数) ・**累計** = 1 + 3 + 5 + ... + (2n−1) = **n²** (大きな正方形) **意味**: 階段状に並べると最終的に正方形になる ─ 美しい性質。 【先生】 **典型問題 7: 周りの個数** 『正方形に並んだ n × n マスの **外周** にある個数は?』 **解き方**: ・全部 = n² ・内側 = (n−2)² ・外周 = n² − (n−2)² = 4n − 4 ・n=5 なら 16 個 **別解**: 4 辺 × n − 4 角 = 4n − 4 (角を 2 重カウントするので引く)。 【先生】 **規則性発見の手順**: 1. **個数を 4-5 個書き出す** (1 段目から) 2. **隣同士の差** を計算 (等差?) 3. **差が等差** → 二次関数的 (an² + bn + c) 4. **比** を見る (等比?) 5. **既知の公式** と比較 (n², n(n+1)/2, 2n−1 等) **経験則**: ・正方形 → n² ・三角形 / 階段 → 1+2+...+n = n(n+1)/2 (三角数) ・奇数列 → 2n−1 ・点と線 → nC2 = n(n-1)/2 【先生】 まとめ: ・正方形タイル: n² ・奇数列・階段: 2n−1、累計 n² ・棒の数 (等差): an + b 型 ・点を結ぶ線: n(n-1)/2 = nC2 ・外周: 4n − 4 次はグラフの読み取り (速さと時間) に進もう!