【先生】 今日のテーマは『数の性質応用』。 前回の素因数分解を **発展させて** 約数の個数や互いに素を求める。 高校でも使う本格的な数論の入口。 【先生】 **約数の個数公式**: **N = p^a × q^b × r^c** と素因数分解できるとき: **N の約数の個数 = (a+1)(b+1)(c+1)** **例 1**: 12 = 2² × 3¹ ・約数の個数 = (2+1)(1+1) = 3×2 = **6 個** ・確認: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ← 6 個 ✓ **例 2**: 60 = 2² × 3 × 5 ・約数 = (2+1)(1+1)(1+1) = 3×2×2 = **12 個** ・確認: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 ← 12 個 ✓ 【? 理解確認】 72 の約数の個数は? 6 個 10 個 ✓ 12 個 【正解】 正解! 72 = 2³ × 3²、約数 = (3+1)(2+1) = 4×3 = 12 個。 【先生】 **互いに素 (たがいにそ)**: **2 つの数の最大公約数が 1** であるとき、その 2 数は **互いに素**。 **例**: ・12 と 35 → GCD = 1 → 互いに素 ✓ ・12 と 18 → GCD = 6 → 互いに素ではない **判定法**: ・素因数分解して **共通の素因数が無ければ** 互いに素 ・12 = 2² × 3、35 = 5 × 7 → 共通なし → 互いに素 【先生】 **典型問題 1: 何個の数が互いに素か** 『1 から 30 までの整数のうち、30 と互いに素な数は何個?』 **解き方** (公式 = オイラー関数): ・30 = 2 × 3 × 5 ・**φ(N) = N × (1 − 1/p₁)(1 − 1/p₂)...** ・φ(30) = 30 × (1 − 1/2) × (1 − 1/3) × (1 − 1/5) ・= 30 × 1/2 × 2/3 × 4/5 = **8 個** **確認**: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ← 8 個 ✓ **ポイント**: オイラー関数は中学受験で稀だが、中堅校以上で出題されることがある。 【先生】 **典型問題 2: 最大公約数の応用** 『縦 120 cm、横 96 cm の長方形を、隙間なく敷き詰められる最大の正方形タイルの 1 辺は?』 **解き方**: ・両方の長さを割り切れる最大 = GCD(120, 96) ・120 = 2³ × 3 × 5、96 = 2⁵ × 3 ・GCD = 2³ × 3 = **24 cm** **意味**: 24 cm 角のタイルなら 120÷24 = 5 列、96÷24 = 4 行で隙間なく敷ける。 【? 理解確認】 縦 168 cm、横 144 cm の床を敷き詰める最大の正方形タイルの 1 辺は? 12 cm ✓ 24 cm 48 cm 【正解】 正解! 168 = 2³×3×7、144 = 2⁴×3²。GCD = 2³×3 = 24 cm。 【先生】 **典型問題 3: 最小公倍数の応用** 『2 つの電車が駅で出会う。A 電車は 8 分ごと、B 電車は 12 分ごとに発車。次に同時発車するのは?』 **解き方**: ・両方の周期の共通最小 = LCM(8, 12) ・8 = 2³、12 = 2² × 3 ・LCM = 2³ × 3 = **24 分後** **意味**: 24 分ごとに同時発車する (8 × 3 = 12 × 2 = 24)。 【先生】 **典型問題 4: 約数の和** 『12 の約数の和は?』 **解き方** (公式): ・12 = 2² × 3 ・約数の和 = (1 + 2 + 4) × (1 + 3) = 7 × 4 = **28** ・確認: 1+2+3+4+6+12 = 28 ✓ **公式**: N = p^a × q^b なら、約数の和 = (1 + p + p² + ... + p^a)(1 + q + ... + q^b) **応用**: 約数の和の問題は中堅校以上で頻出。 【先生】 **典型問題 5: 完全数** **完全数** = 自分を除く約数の和が自分自身と等しい数。 ・6 の約数 (除自) = 1+2+3 = 6 → **6 は完全数** ・28 の約数 (除自) = 1+2+4+7+14 = 28 → **28 は完全数** ・次は 496, 8128, ... **中受での出題**: 『1 から 30 までの完全数は?』 → 6 と 28。 数学的にエレガントなテーマで、覚えると有利。 【先生】 まとめ: ・約数の個数 = (指数+1) の積 ・互いに素 = GCD が 1 ・敷き詰め = GCD、同時出現 = LCM ・約数の和 = (1+p+p²+...)(1+q+...) ・完全数: 6, 28, 496, 8128, ... 次は約束記号 (記号定義問題) に進もう!