【先生】 今日のテーマは『数列・規則性』。 中受でよく出るパターンは **3 種類** だけ。 **隣同士の関係** を見て、どのパターンか判定する。 【先生】 **3 つの基本パターン**: **1. 等差数列**: 隣同士の **差** が一定 例: 2, 5, 8, 11, 14, ... (差 = +3) **2. 等比数列**: 隣同士の **比** が一定 例: 2, 6, 18, 54, ... (比 = ×3) **3. 周期数列**: 同じパターンが **繰り返す** 例: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, ... (周期 3) **判定の手順**: まず差を見る → 差が一定でないなら比 → どちらでもなければ周期。 【先生】 **等差数列の公式**: **第 n 項 (n 番目の数)** = 初項 + 公差 × (n − 1) **例**: 2, 5, 8, 11, ... の 10 番目は? ・初項 = 2、公差 = 3 ・第 10 項 = 2 + 3 × (10 − 1) = 2 + 27 = **29** **和の公式** (1 から N までの和): **和 = (初項 + 末項) × 項数 ÷ 2** ・1+2+3+...+100 = (1+100)×100÷2 = **5050** (有名) ・2+5+8+...+29 = (2+29)×10÷2 = **155** 【? 理解確認】 等差数列 3, 7, 11, 15, ... の 20 番目は? 77 ✓ 79 83 【正解】 正解! 初項 3、公差 4、第 20 項 = 3 + 4 × (20−1) = 3 + 76 = 79。 【先生】 **応用: 図形数列** 図形を並べたときの数の規則性。 **例: 正方形を作るタイル** ・1 段目: 1 枚 → 2 段目: 4 枚 → 3 段目: 9 枚 → 4 段目: 16 枚 → ... ・規則: n 段目 = **n × n = n²** **例: 三角数** ・1, 3, 6, 10, 15, 21, ... ・規則: n 番目 = 1 + 2 + 3 + ... + n = **n × (n+1) ÷ 2** ・例: 7 番目 = 7 × 8 ÷ 2 = 28 【先生】 **周期数列の判定**: **例: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, ... の 100 番目は?** **解き方**: ・周期 3 のパターン ・100 ÷ 3 = 33 余り 1 ・**余り 1 番目** = 周期の最初 = **1** **ポイント**: **余りで判定** ─ 余り 0 ならパターンの最後、余り 1 なら 1 番目、... **応用例**: 曜日の問題 『今日は月曜日。100 日後は何曜?』 ・100 ÷ 7 = 14 余り 2 ・月曜から 2 日後 = **水曜日** 【? 理解確認】 A, B, C, D, A, B, C, D, A, B, C, D, ... が続く数列で、50 番目の文字は? A ✓ B C 【正解】 正解! 周期 4。50 ÷ 4 = 12 余り 2 → パターンの 2 番目 = B。 【先生】 **等比数列 (中受では特殊算でよく出る)**: **例: 細胞分裂** 『1 個の細胞が 1 分ごとに 2 倍になる。10 分後には何個?』 ・1 → 2 → 4 → 8 → ... (公比 ×2) ・n 分後 = **2 の n 乗** ・10 分後 = 2^10 = **1024 個** **例: 借金が増える** 『10 万円借りて、月 10% の利息 (元金 + 利息にまた利息)。3 ヶ月後の借金は?』 ・10万 × 1.1 × 1.1 × 1.1 = 10万 × 1.331 = **13.31 万円** 【先生】 **判定フロー**: 1. **隣同士の差** を 2-3 個計算 ・差が一定 → 等差数列 ・違う → 次へ 2. **隣同士の比** を計算 ・比が一定 → 等比数列 ・違う → 次へ 3. **パターンの繰り返し** を探す ・繰り返しあり → 周期数列 4. 上記に当てはまらない場合、**2 段階の差** (階差) や **2 つの数列の和** を疑う 例: 1, 3, 6, 10, 15, ... は階差が 2, 3, 4, 5 と等差 【? 理解確認】 数列 2, 4, 8, 16, 32, ... の規則は? 等差 (差 +2) ✓ 等比 (比 ×2) 周期 【正解】 正解! 隣同士の比が ×2 で一定 → 等比数列。第 n 項 = 2^n。 【先生】 まとめ: ・等差数列: 第 n 項 = 初項 + 公差 × (n−1)、和 = (初+末)×項数÷2 ・等比数列: 公比を掛けて伸びる、第 n 項 = 初項 × 公比^(n−1) ・周期数列: 余りで位置を判定 ・図形数列: n × n (正方形)、n × (n+1) ÷ 2 (三角) ・判定: 差 → 比 → 周期 の順で確認 次は場合の数・順列組合せに進もう!