平方根の計算 ─ √ の意味と有理化 [中3]

結論: √ の中の数は『2 乗の因数を外に出す』

√ (ルート) は『2 乗すると元の数になる正の数』。 √16 = 4 (4²=16)、√81 = 9。

√ の中の数を簡単にするコツ: 1. 中の数を素因数分解 2. 2 乗の因数を外に出す (√(a²b) = a√b) 例: √12 = √(4×3) = 2√3

解法 1: 足し算・引き算

ルート同士の足し算は『中身を揃えてから係数を足す』。 √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2 (√を 2 に揃えた) √12 - √3 = 2√3 - √3 = √3

中身が違う √ 同士は足せない: √2 + √3 はそのまま。

解法 2: かけ算・わり算

√a × √b = √(ab) √6 × √2 = √12 = 2√3 √10 ÷ √2 = √5

ルートの中で掛けてから簡単化するのが基本。

解法 3: 有理化 (分母に √ がある時)

1/√2 → 上下に √2 をかける → √2/2 3/√5 → 上下に √5 をかける → 3√5/5 2/(√3+1) → 上下に (√3-1) をかける → 2(√3-1)/((√3)²-1²) = 2(√3-1)/2 = √3-1

分母に √ を残してはいけない (中学校では)。

典型的な間違いと診断

**パターン 1: √(a+b) = √a + √b と書く** √(9+16) = √9 + √16 = 7 (本当は √25 = 5) → 戻る場所: 『√ の足し算は分配できない』。

**パターン 2: √ の中を簡単化し忘れる** 答えに √8 と書く (2√2 が正) → 戻る場所: 必ず 2 乗の因数を探す。

**パターン 3: 有理化を忘れる** 答えに 1/√2 と書く → 戻る場所: 分母の √ は必ず有理化。

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