空間図形 ─ 立体の体積・表面積と投影図 [中1]

結論: 体積公式は『柱体 = 底面積 × 高さ』『錐体 = 1/3 × 底面積 × 高さ』

立体ごとの体積公式: ・立方体 / 直方体: 縦×横×高さ ・角柱 / 円柱: 底面積 × 高さ ・角錐 / 円錐: 1/3 × 底面積 × 高さ ・球: 4/3 × π × r³

表面積 = すべての面の面積の合計。展開図にすると見通しが良い。

解法 1: 立方体・直方体

1 辺 a の立方体: ・体積 = a³ ・表面積 = 6a² (6 面 × a²)

縦×横×高さ = 3×4×5 の直方体: ・体積 = 60 ・表面積 = 2(3×4 + 4×5 + 3×5) = 2(12+20+15) = 94

解法 2: 円柱・円錐

円柱 (底面半径 r、高さ h): ・体積 = πr²h ・表面積 = 2πr² + 2πrh (上下の円 + 側面の長方形)

円錐 (底面半径 r、高さ h、母線 ℓ): ・体積 = (1/3)πr²h ・側面のおうぎ形の弧の長さ = 2πr (底面の円周と一致)

解法 3: 球

半径 r の球: ・体積 = (4/3)πr³ ・表面積 = 4πr²

覚え方: 体積『身の上に心配ある (3 ある = 3 乗)』、表面積『心配あるある (= r² が 2 つ)』。

典型的な間違いと診断

**パターン 1: 錐体で 1/3 を忘れる** 円錐の体積を πr²h と書いてしまう (柱体の 3 倍) → 戻る場所: 『錐体 = 柱体の 1/3』のイメージ。

**パターン 2: 表面積で重複カウント** → 展開図に書き直して『何個の面があるか』を確認。

**パターン 3: 半径と直径の取り違え** 問題が『直径 6 の球』なのに r=6 で計算 → 戻る場所: r は半径。直径なら ÷2。

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