相似と相似比 ─ 面積比は 2 乗・体積比は 3 乗 [中3]

結論: 相似比が a:b なら面積比は a²:b²、体積比は a³:b³

相似 = 形は同じで大きさが違う図形。

三角形の相似条件: 1. 3 組の辺の比が等しい 2. 2 組の辺の比とその間の角が等しい 3. 2 組の角が等しい (= 残りの 1 組も自動で等しい)

比の累乗: ・相似比 a:b → 面積比 a²:b² ・相似比 a:b → 体積比 a³:b³

解法 1: 相似比から面積比

相似な 2 つの三角形の相似比が 2:3 のとき: → 面積比 = 4:9

小さい方の面積が 16cm² なら、大きい方は 16 × (9/4) = 36cm²。

解法 2: 中点連結定理

三角形の 2 辺の中点を結ぶ線分は、第 3 辺と平行で長さは半分。

△ABC で D が AB の中点、E が AC の中点なら: → DE // BC かつ DE = BC/2

また △ADE と △ABC の相似比 1:2 → 面積比 1:4。

解法 3: 平行線と比

三角形 ABC で DE が BC と平行なとき: AD : AB = AE : AC = DE : BC

AD=4、AB=6 なら、AE:AC = 4:6 = 2:3 が成り立つ。

典型的な間違いと診断

**パターン 1: 面積比を相似比のままにする** 相似比 2:3 で面積比 2:3 と答える → 戻る場所: 面積比は相似比の 2 乗。

**パターン 2: 体積比を 2 乗で計算** → 戻る場所: 体積比は相似比の 3 乗 (=1:8 of 1:2)。

**パターン 3: 中点連結定理で 2 倍にしてしまう** 中点を結ぶ線が底辺の半分なのに 2 倍と勘違い → 戻る場所: 中点連結は底辺の 1/2。

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