二次方程式の解き方 ─ 因数分解・解の公式・平方完成 [中3]

結論: 因数分解できそうならまず因数分解、できなければ解の公式

二次方程式 ax² + bx + c = 0 の解法 3 つ: 1. 因数分解 (一番速い): (x-p)(x-q) = 0 → x = p, q 2. 解の公式 (汎用): x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a 3. 平方完成 (理論用): (x+m)² = n の形にする

計算問題ではほぼ因数分解か解の公式の二択。

解法 1: 因数分解

x² - 5x + 6 = 0 → (x-2)(x-3) = 0 → x = 2 または x = 3

x² + 4x = 0 (定数項なし) → x(x+4) = 0 → x = 0 または x = -4 (x=0 を忘れない!)

解法 2: 解の公式

ax² + bx + c = 0 の解は x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a

例: 2x² - 5x + 1 = 0 (a=2, b=-5, c=1) → x = (5 ± √(25-8)) / 4 = (5 ± √17) / 4

ポイント: -b は『b の符号を反転』、b²-4ac は判別式 D。

解法 3: 判別式 D

D = b² - 4ac ・D > 0: 異なる 2 つの実数解 ・D = 0: 重解 (1 つの実数解) ・D < 0: 実数解なし (中学範囲では『解なし』)

典型的な間違いと診断 ─ どこから戻ってやり直すか

**パターン 1: 符号取り違え** (x-2)(x-3)=0 から x=-2, -3 と答える → 戻る場所: 『カッコの中身を = 0 にする値』が解。x-2=0 → x=2。

**パターン 2: x=0 解の見落とし** x²+4x=0 から x=-4 のみ答える → 戻る場所: x(x+4)=0 → x=0 も解。x で両辺を割ると解を失う。

**パターン 3: 和積取り違え** x²+5x+6 を (x+1)(x+6) と分解する → 戻る場所: 和 5、積 6 を満たすのは 2 と 3。

**パターン 4: 解の公式 -b の符号忘れ** x²-5x+1=0 で b=-5 を入れる時 -b=-5 のまま → 戻る場所: -b=-(b)=+5。

**パターン 5: 分母 2a を忘れる** → 戻る場所: 解の公式の分母は 2a。

**パターン 6: 文章題で負解を採用** 長さや個数を求めるのに負の解を答える → 戻る場所: x が何を表すか確認、正の解のみ採用。

**パターン 7: x²=4x で両辺を x で割る** → 戻る場所: x²-4x=0 と移項して x(x-4)=0 で解く。

**パターン 8: 重解を 2 つ書く** x²-6x+9=0 → (x-3)²=0 → x=3 (重解)。x=3, 3 と書かなくて OK。

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YouStudy では二次方程式の 8 種の典型誤答をすべて自動診断対応しています。

**動作例**: x²-5x+6=0 に『x=-2,-3』と答えると、 → システムが『符号取り違え』を疑い、(x-1)(x-7)=0 のプローブ問題を出題。 → 同じ間違い方をすれば確定、『カッコの中身を=0 にする数を一つずつ確認するクセを』と修正アドバイス。 → 別のパターンなら別のプローブで原因を絞り込む。

塾や問題集では『丸付けして終わり』ですが、YouStudy は『どこをどう直せばいいか』まで明示。組み合わせて使うのが効果的。