展開と因数分解 ─ 公式 4 種と『たすき掛け』 [中3]

結論: 4 つの公式を覚え、因数分解は『共通因数 → 公式 → 確認』

乗法公式 (展開のための 4 つ): ① (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab ② (a+b)² = a² + 2ab + b² ③ (a-b)² = a² - 2ab + b² ④ (a+b)(a-b) = a² - b²

因数分解はこの 4 公式の逆向き。

解法 1: 展開

(x+2)(x+3) = x² + 5x + 6 (公式①、和 5、積 6) (x+4)² = x² + 8x + 16 (公式②) (x-3)² = x² - 6x + 9 (公式③、真ん中の符号がマイナス) (x+5)(x-5) = x² - 25 (公式④)

解法 2: 因数分解 (基本)

x² + 5x + 6 → 和 5・積 6 の 2 数 → 2 と 3 → (x+2)(x+3) x² - 9 → a² - b² の形 → (x+3)(x-3) x² - 6x + 9 → 2乗の差→ (x-3)²

迷ったら展開して検算。

解法 3: 因数分解の手順 (3 ステップ)

1. 共通因数があれば最初にくくる: 2x²+6x = 2x(x+3) 2. 残りが 4 公式の形か確認 3. 当てはまる公式を使う

典型的な間違いと診断

**パターン 1: 和と積の組合せを間違える** x²+5x+6 を (x+1)(x+6) と書く (積 6 だが和 7) → 戻る場所: 和と積の両方を満たす 2 数を探す。

**パターン 2: 符号の取り違え** x²-5x+6 を (x+2)(x+3) と書く → 戻る場所: 和が -5、積が +6 → 2 数とも負 (-2, -3)。

**パターン 3: 共通因数を見落とす** 2x²+8x+6 をいきなり因数分解しようとして詰まる → 戻る場所: 全部を 2 で割って 2(x²+4x+3) = 2(x+1)(x+3)。

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紙の問題集や塾の宿題でこの単元の問題を間違えたとき、『なぜ間違えたか』『どこに戻れば直せるか』を 1 人で特定するのは難しい。

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