円 ─ 円周角の定理とおうぎ形の面積 [中3]

結論: 円周角 = 中心角 ÷ 2、直径に対する円周角は 90°

円周角の定理: ・同じ弧 (AB) に対する円周角はすべて等しい ・円周角 = (その弧に対する中心角) / 2 ・直径に対する円周角は 90° (タレスの定理)

解法 1: 中心角・円周角

中心角 100° の弧に対する円周角は 50°。 中心角 180° (= 直径) なら円周角は 90°。

解法 2: 円周・面積

半径 r の円: ・円周 = 2πr ・面積 = πr²

半径 5 → 円周 10π、面積 25π。

解法 3: おうぎ形

半径 r、中心角 a° のおうぎ形: ・弧の長さ = 2πr × (a/360) ・面積 = πr² × (a/360)

半径 6、中心角 60°: → 弧 = 12π × 1/6 = 2π → 面積 = 36π × 1/6 = 6π

典型的な間違いと診断

**パターン 1: 円周角と中心角の関係を逆にする** 円周角 = 中心角 × 2 と書く → 戻る場所: 中心角の方が大きい (2 倍)。円周角は中心角の半分。

**パターン 2: おうぎ形で 360 で割り忘れ** 中心角 60° の弧を 12π と書く → 戻る場所: 中心角 / 360 を必ずかける。

**パターン 3: 直径と半径の取り違え** → 戻る場所: r は半径。直径なら r = 直径/2。

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