中学受験 約数と倍数 ─ 最大公約数・最小公倍数 [小5]

結論: 素因数分解できれば GCD・LCM が見える

約数: ある数を割り切れる数。12 の約数 = 1, 2, 3, 4, 6, 12。 倍数: ある数の整数倍。3 の倍数 = 3, 6, 9, 12, 15, ...

重要な 2 つ: ・最大公約数 (GCD): 共通する約数のうち最大 ・最小公倍数 (LCM): 共通する倍数のうち最小

解法 1: 素因数分解

数を素数の積に分解する。 ・12 = 2² × 3 ・18 = 2 × 3² ・24 = 2³ × 3 ・36 = 2² × 3²

素数 (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...) で順に割っていく。

解法 2: GCD と LCM

12 と 18 の GCD・LCM: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² ・GCD = 共通の最低指数 = 2 × 3 = 6 ・LCM = 各素数の最大指数 = 2² × 3² = 36

別法: GCD × LCM = 元の 2 数の積 → 6 × 36 = 216 = 12 × 18 ✓

解法 3: 約数の個数

72 = 2³ × 3² → 約数の個数 = (3+1) × (2+1) = 12 個

各素数の指数に 1 を加えて掛ける。

解法 4: 文章題応用

縦 18cm、横 24cm の長方形を、すきまなく同じ大きさの正方形に分けたい。1 辺最大何 cm? → GCD(18, 24) = 6 → 6cm。

A は 12 日ごと、B は 15 日ごとにする。次に同時に来るのは? → LCM(12, 15) = 60 → 60 日後。

典型的な間違いと診断

**パターン 1: GCD と LCM を逆** → 戻る場所: 共通 ÷ 約数 = GCD (小)、共通 × 倍数 = LCM (大)。

**パターン 2: 素因数分解で漏れる** → 戻る場所: 2 から順に小さい素数で割る。最後まで割り続ける。

**パターン 3: 文章題で GCD/LCM 取り違え** → 戻る場所: 『同じ大きさに分ける』『最大いくら』→ GCD、『次に同時』『最小いくつ』→ LCM。

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