中学受験 場合の数 ─ 順列・組み合わせ・経路 [小5-6 算数]

結論: 場合の数は『並べる』『選ぶ』『樹形図』で系統的に数える

中受場合の数の基本: ・順列 (並べる): A, B, C を並べる → 3×2×1 = 6 通り ・組み合わせ (選ぶ): A, B, C から 2 つ → 3 通り (順序関係なし) ・樹形図: 全パターンを系統的に書き出す

解法 1: 並べる (順列)

・n 個を全部並べる: n! = n × (n-1) × ... × 1 ・n 個から r 個を並べる: n × (n-1) × ... × (n-r+1)

例: A,B,C,D 4 人を 1 列に → 4! = 4×3×2×1 = 24 通り 例: A,B,C,D 4 人から 2 人を選んで並べる → 4×3 = 12 通り

解法 2: 選ぶ (組み合わせ)

n 個から r 個を選ぶ: n×(n-1)×...×(n-r+1) ÷ r!

例: 5 人から 2 人を選ぶ → 5×4÷2 = 10 通り 例: 6 人から 3 人を選ぶ → 6×5×4÷(3×2×1) = 20 通り

解法 3: 経路問題

碁盤の目状の道で A から B へ最短経路。右 3 マス・上 2 マス進む場合: → 5 マス進む中で右を 3 マス、上を 2 マス選ぶ → 5C2 = 5×4÷2 = 10 通り

解法 4: 数字の場合の数

0,1,2,3 の 4 つから 3 つで 3 桁の整数: ・百の位: 0 以外 → 3 通り ・十の位: 残り → 3 通り ・一の位: 残り → 2 通り → 3×3×2 = 18 通り

典型的な間違いと診断

**パターン 1: 順列と組み合わせを混同** → 戻る場所: 並べる (順序あり) か選ぶ (順序なし) かを問題文から判断。

**パターン 2: 0 を百の位に置く** → 戻る場所: 整数の最高位は 0 にならない。

**パターン 3: 経路問題で順序ミス** → 戻る場所: 経路問題は『右何回・上何回の組合せ』で数える。

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